exp Ungleichung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend,
Ich würde gerne folgende Ungleichung zeigen:
ich betracht edie Funktion $ f(x) = 1-exp(-x) $ mit dem Definitionsbereich $ [mm] \IR_+ \cup \{\infty\} [/mm] $
Nun soll ich zeigen:
Für $ a > 0 $ existiert ein $ b > 0 $ so dass aus $ |x-y|> a $ und $ min(x,y) [mm] \ge \bruch{1}{a} [/mm] $ folgendes folgt:
$ [mm] f(\bruch{x+y}{2}) [/mm] > [mm] \bruch{1}{2}(f(x)+f(y)) [/mm] +b $
Was ich versucht habe:
Einsetzen:
Die linke Seite geht über in:
$ [mm] 1-exp(-\bruch{x+y}{2}) [/mm] $
Die rechte in:
$ [mm] \bruch{1}{2}( [/mm] 1-exp(-x)+1-exp(-y)) +b [mm] =1-\bruch{exp(-x)}{2}-\bruch{exp(-y)}{2} [/mm] +b $
Nun wollte ich die linke Seite nach unten abschätzen, die rechte nach oben, und dann zeigen, dass ich ein $ b $ wählen kann, sodass diese neue Ungleichung gilt, dann muss auch die ursprüngliche gelten.
also schätze ich die linke nach unten ab durch:
$ [mm] 1-exp(-\bruch{x+y}{2}) \ge 1-\bruch{1}{1-\bruch{x+y}{2}} =\bruch{x+y}{x+y-2} [/mm] $
(ich habe exp nach oben abgeschätzt, da ich ja 1- etwas positives abziehen will und die Ungleichung verwendet: $ exp(x) [mm] \le \bruch{1}{1-x}$
[/mm]
für die rechte:
$ [mm] 1-\bruch{exp(-x)}{2}-\bruch{exp(-y)}{2} [/mm] +b [mm] \le 1-(\bruch{1-x}{2}+\bruch{1-y}{2})+b [/mm] = [mm] \bruch{x+y}{2}+b$
[/mm]
wobei ich hier wieder verwendet habe, dass ich etwas positives abziehe, indem ich es aber kleiner mache, das ganze grösser wird. Dazu habe ich die Ungleichung: $ exp(x) [mm] \ge [/mm] 1+x $ verwendet.
Ich muss das b also so wählen, dass
$ [mm] \bruch{x+y}{x+y-2} [/mm] > [mm] \bruch{x+y}{2}+b [/mm] $
Leider weiss ich nicht, wie ich da weitermachen soll. Vielleicht jetzt es auch der komplett flasche Ansatz! Hilfe wäre sehr willkommen.
Liebe Grüsse
Marianne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Sa 03.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Guten Abend,
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> Ich würde gerne folgende Ungleichung zeigen:
>
> ich betracht edie Funktion [mm]f(x) = 1-exp(-x)[/mm] mit dem
> Definitionsbereich [mm]\IR_+ \cup \{\infty\}[/mm]
>
> Nun soll ich zeigen:
>
> Für [mm]a > 0[/mm] existiert ein [mm]b > 0[/mm] so dass aus [mm]|x-y|> a[/mm] und
> [mm]min(x,y) \ge \bruch{1}{a}[/mm] folgendes folgt:
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> [mm]f(\bruch{x+y}{2}) > \bruch{1}{2}(f(x)+f(y)) +b[/mm]
>
> Was ich versucht habe:
>
> Einsetzen:
>
> Die linke Seite geht über in:
>
> [mm]1-exp(-\bruch{x+y}{2})[/mm]
>
> Die rechte in:
>
> [mm]\bruch{1}{2}( 1-exp(-x)+1-exp(-y)) +b =1-\bruch{exp(-x)}{2}-\bruch{exp(-y)}{2} +b[/mm]
>
> Nun wollte ich die linke Seite nach unten abschätzen, die
> rechte nach oben, und dann zeigen, dass ich ein [mm]b[/mm] wählen
> kann, sodass diese neue Ungleichung gilt, dann muss auch
> die ursprüngliche gelten.
>
> also schätze ich die linke nach unten ab durch:
>
> [mm]1-exp(-\bruch{x+y}{2}) \ge 1-\bruch{1}{1-\bruch{x+y}{2}} =\bruch{x+y}{x+y-2}[/mm]
>
> (ich habe exp nach oben abgeschätzt, da ich ja 1- etwas
> positives abziehen will und die Ungleichung verwendet:
> [mm]exp(x) \le \bruch{1}{1-x}[/mm]
>
> für die rechte:
>
>
> [mm]1-\bruch{exp(-x)}{2}-\bruch{exp(-y)}{2} +b \le 1-(\bruch{1-x}{2}+\bruch{1-y}{2})+b = \bruch{x+y}{2}+b[/mm]
>
> wobei ich hier wieder verwendet habe, dass ich etwas
> positives abziehe, indem ich es aber kleiner mache, das
> ganze grösser wird. Dazu habe ich die Ungleichung: [mm]exp(x) \ge 1+x[/mm]
> verwendet.
>
>
> Ich muss das b also so wählen, dass
>
> [mm]\bruch{x+y}{x+y-2} > \bruch{x+y}{2}+b[/mm]
>
> Leider weiss ich nicht, wie ich da weitermachen soll.
> Vielleicht jetzt es auch der komplett flasche Ansatz! Hilfe
> wäre sehr willkommen.
>
> Liebe Grüsse
>
> Marianne
Hallo,
betrachte bitte meine Skizze. Es geht in der Ungleichung darum, eine Zahl b anzugeben, sodass die orange Strecke um mindestens b Längeneinheiten länger ist als die gestrichelte blaue Strecke.
Wenn man x festhält und y vergrößert, vergrößert sich auch die Längendifferenz (diese Längendifferenz ist die Strecke FG.) Die Zahl b muss also klein genug gewählt werden, dass sie auch in dem ungünstigsten Fall (y liegt nahe bei x, also y=x+a statt y>x+a) klein genug ist, um die Ungleichung zu erfüllen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Deshalb: Vergiss y und verwende stattdessen (x+a).
Bilde die Differenz der Werte (orange - blau), dabei kann dann so etwas wie [mm] e^{-x/2} [/mm] ausgeklammert werden.
Die Bedingung, dass die kleinere der beiden Zahlen x,y (in meiner Skizze x) größer als 1/a bleiben muss, muss in deiner weiteren Betrachtung eine Rolle spielen!
Gruß Abakus
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Guten Tag Abakus
Herzlichen Dank für deine aufwendig Antwort mit Skizze.
Was ich nun getan habe:
O.B.d.A sei $ x [mm] \le [/mm] y $, d.h. $ x + a = y $.
Wie von dir vorgeschlagen, habe ich also die Differenz der orangen und blauen Linie betrachtet:
$ [mm] f(\bruch{x+y}{2}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}(f(x)+f(y)) [/mm] $
einsetzen von $ y = x+ a $ ergibt:
[mm] f(\bruch{2x+a}{2}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}(f(x)+f(x+a)) [/mm] = [mm] 1-exp(-x-\bruch{a}{2})-\bruch{1}{2}(1-exp(-x)+1-exp(-x-a))= 1-exp(-x)exp(-\bruch{a}{2})-1+\bruch{exp(-x)}{2}+\bruch{exp(-x)exp(-a)}{2} [/mm] = [mm] exp(-x)(-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2})
[/mm]
Dies soll nun mindestens $ b $ gross sein, d.h.
$ [mm] exp(-x)(-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2}) \ge [/mm] b $
da ich weiss, dass $ x [mm] \ge \bruch{1}{a} \gdw [/mm] -x [mm] \le \bruch{-1}{a} [/mm] $ und $ exp(-x) [mm] \ge exp(-\bruch{1}{a}) [/mm] $, folgt:
$ [mm] exp(-x)(-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2}) \ge exp(-\bruch{1}{a})(-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2}) [/mm] $
wen ich $ b $ nun so wähle, dass
$ [mm] exp(-\bruch{1}{a})(-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2}) \ge [/mm] b $
Dann gilt die obige Ungleichung sicher. Ein $b $ kann ich sicher so wählen, wenn der Term in der Klammer strikt grösser 0 ist, also
$ [mm] (-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2}) [/mm] $
Das ist eine Funktion von a, also
$ g(a) = [mm] (-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2}) [/mm] $
Man beachte, dass $ g(0) = 0 $ danach ist g aber strikt positiv und da $ a>0 $ vorausgesetzt wird, kann ich sicherlich ein solches $ b $ wählen zu einem vorgegebenen $ a $.
Ist dies korrekt?
Liebe Grüsse
marianne88
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 So 04.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Guten Tag Abakus
>
> Herzlichen Dank für deine aufwendig Antwort mit Skizze.
>
> Was ich nun getan habe:
>
> O.B.d.A sei [mm]x \le y [/mm], d.h. [mm]x + a = y [/mm].
Hallo,
das müsste erst einmal x+a[mm]\le[/mm]y lauten, so lange du nicht die Begründung lieferst, dass dies der ungünstigste Fall ist.
>
> Wie von dir vorgeschlagen, habe ich also die Differenz der
> orangen und blauen Linie betrachtet:
>
> [mm]f(\bruch{x+y}{2}) - \bruch{1}{2}(f(x)+f(y))[/mm]
>
> einsetzen von [mm]y = x+ a[/mm] ergibt:
>
> [mm]f(\bruch{2x+a}{2})[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}(f(x)+f(x+a))[/mm] =
> [mm]1-exp(-x-\bruch{a}{2})-\bruch{1}{2}(1-exp(-x)+1-exp(-x-a))= 1-exp(-x)exp(-\bruch{a}{2})-1+\bruch{exp(-x)}{2}+\bruch{exp(-x)exp(-a)}{2}[/mm]
> =
> [mm]exp(-x)(-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2})[/mm]
>
> Dies soll nun mindestens [mm]b[/mm] gross sein, d.h.
>
> [mm]exp(-x)(-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2}) \ge b[/mm]
>
> da ich weiss, dass [mm]x \ge \bruch{1}{a} \gdw -x \le \bruch{-1}{a}[/mm]
> und [mm]exp(-x) \ge exp(-\bruch{1}{a}) [/mm], folgt:
Moment mal,
aus c<d folgt <d folgt="" <span="" class="math">[mm]e^c
Da musst du wohl noch mal ran.
Gruß Abakus
>
> [mm]exp(-x)(-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2}) \ge exp(-\bruch{1}{a})(-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2})[/mm]
>
> wen ich [mm]b[/mm] nun so wähle, dass
>
> [mm]exp(-\bruch{1}{a})(-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2}) \ge b[/mm]
>
> Dann gilt die obige Ungleichung sicher. Ein [mm]b[/mm] kann ich
> sicher so wählen, wenn der Term in der Klammer strikt
> grösser 0 ist, also
>
> [mm](-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2})[/mm]
>
> Das ist eine Funktion von a, also
>
> [mm]g(a) = (-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2})[/mm]
>
> Man beachte, dass [mm]g(0) = 0[/mm] danach ist g aber strikt positiv
> und da [mm]a>0[/mm] vorausgesetzt wird, kann ich sicherlich ein
> solches [mm]b[/mm] wählen zu einem vorgegebenen [mm]a [/mm].
>
> Ist dies korrekt?
>
>
> Liebe Grüsse
>
> marianne88
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Guten Tag Abakus
Zunächst, nochmals Danke! für deine Geduld. Allerdings habe ich zwei Fragen zu deiner letzten Antwort:
> >
> > O.B.d.A sei [mm]x \le y [/mm], d.h. [mm]x + a = y [/mm].
> Hallo,
> das müsste erst einmal x+a[mm]\le[/mm]y lauten, so lange du nicht
> die Begründung lieferst, dass dies der ungünstigste Fall
> ist.
Diesen Einwand verstehe ich nicht. Ich versteh nicht ganz, wieso ich dies tun darf, denn es gilt ja nach Voraussetzung, $ |x- y|> a $ und nicht
$ [mm] |x-y|\ge [/mm] a $.
> >
> > Wie von dir vorgeschlagen, habe ich also die Differenz der
> > orangen und blauen Linie betrachtet:
> >
> > [mm]f(\bruch{x+y}{2}) - \bruch{1}{2}(f(x)+f(y))[/mm]
> >
> > einsetzen von [mm]y = x+ a[/mm] ergibt:
> >
> > [mm]f(\bruch{2x+a}{2})[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}(f(x)+f(x+a))[/mm] =
> > [mm]1-exp(-x-\bruch{a}{2})-\bruch{1}{2}(1-exp(-x)+1-exp(-x-a))= 1-exp(-x)exp(-\bruch{a}{2})-1+\bruch{exp(-x)}{2}+\bruch{exp(-x)exp(-a)}{2}[/mm]
> > =
> >
> [mm]exp(-x)(-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2})[/mm]
> >
> > Dies soll nun mindestens [mm]b[/mm] gross sein, d.h.
> >
> >
> [mm]exp(-x)(-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2}) \ge b[/mm]
>
> >
> > da ich weiss, dass [mm]x \ge \bruch{1}{a} \gdw -x \le \bruch{-1}{a}[/mm]
> > und [mm]exp(-x) \ge exp(-\bruch{1}{a}) [/mm], folgt:
> Moment mal,
> aus c<d folgt <d folgt="" <span="" class="math">[mm]e^c
> also müsste aus [mm]-x \le \bruch{-1}{a}[/mm] auch [mm]e^{-x} \le e^{\bruch{-1}{a}}[/mm]
> folgen.
> Da musst du wohl noch mal ran.
> Gruß Abakus
>
Da hast du natürlich recht, ich habe immer noch an $ exp(-x)$ anstatt $ exp(x) $ gedacht. Daher die falsche Ungleichung. Allerdings weiss ich jetzt nicht mehr, wie ich weiterfahren soll. Ich muss ja ein $b $ in Abhängigkeit von $ a $ wählen. Also sollte ich dieses verbleibende $ exp(-x) $ irgendwie durch $ a $ abschätzen. Wenn ich aber $ exp(-x) [mm] \le exp(-\bruch{1}{a} [/mm] ) $ bringt mich dies ja nicht weiter, denn dann erhalte ich ja:
[mm]exp(-\bruch{1}{a})(-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2}) \ge exp(-x)(-exp(-\bruch{a}{2})+\bruch{1}{2}+\bruch{exp(-a)}{2})[/mm]
Wenn der erste Ausdruck grösser als $ b $ ist, muss ja nicht zwingend der zweite auch grösser sein. Wie soll ich denn dies nach unten abschätzen um das $ x $ zu eliminieren?
Liebe Grüsse
Marianne
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 04.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:15 So 11.12.2011 | | Autor: | marianne88 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Guten Tag
Es ist mir ein wenig peinlich, aber ich habe versehentlich die falsche Funktion angegeben resp. zwei Aufgaben durcheinander gebracht. Hier nun die richtige:
Es sollte sein: $ f(x) = \exp{(-x)} $ mit dem selben Definitionsbereich.
Es soll gezeigt werden:
sei $ a > 0 $ und gelte $ |y-x| \ge a $ sowie $ min(x,y) \le \bruch{1}{a} $, dann gibt es ein $ b > 0 $ (das von a abhängt) so dass
$ f(\bruch{1}{2}(x+y)) \le \bruch{1}{2}(f(x) + f(y)) - b $
Analog wie es Abakus vorgeschlagen hat, kann man die Differenz bilden.
Nehmen wir an, dass $ y < x $ gelte.
Es ist klar, dass der ungünstigste Fall derjenige ist, wo gilt $ x-y = a $. Sei also $ x = y+a $. Nun soll gezeigt werden:
$ b \le \bruch{1}{2}(f(x) + f(y)) - f(\bruch{1}{2}(x+y)) $
einsetzen ergibt:
$ b \le \bruch{1}{2}(\exp{(-x)}+\exp{(-y)}) - \exp{(-\bruch{y}{2}-\bruch{x}{2})} $
setzen wir nun $ x=y+a $ ein, ergibt dies:
$ b \le \bruch{1}{2}(\exp{(-y-a)}+\exp{(-y)}) - \exp{(-\bruch{y}{2}-\bruch{y}{2}-\bruch{a}{2})}= \bruch{1}{2}(\exp{(-y-a)}+\exp{(-y)}) - \exp{(-y-\bruch{a}{2})}= \bruch{1}{2}(\exp{(-y)}\exp{(-a)}+\exp{(-y)}) - \exp{(-y)}\exp{(-\bruch{a}{2})}$
Klammere ich nun $ \exp{(-y)}$ aus:
$ b \le \bruch{1}{2}\exp{(-y)}(\exp{(-a)}+1 -\exp{(-\bruch{a}{2})})$
Was auf der linken Seite in Klammern steht, ist positiv. Des weiteren weiss ich, dass
$ min(x,y) = y \le \bruch{1}{a}\gdw -y \ge -\bruch{1}{a} \gdw exp{(-\bruch{1}{a}) \le \exp{(-y)}$, also
$ \bruch{1}{2}\exp{(-y)}(\exp{(-a)}+1 -\exp{(-\bruch{a}{2})}) \ge \bruch{1}{2}\exp{(-\bruch{1}{a})}(\exp{(-a)}+1 -\exp{(-\bruch{a}{2})})$
Also kann ich wählen:
$ b \le \bruch{1}{2}\exp{(-\bruch{1}{a})}(\exp{(-a)}+1 -\exp{(-\bruch{a}{2})})$
Was möglich ist, da der Term in der Klammer wie gesagt positiv ist.
Ich möchte mich nochmals entschuldigen für das Durcheinander! Jetzt sollten alle Angaben richtig sein.
Ich wäre äusserst froh, wenn jemand sagen könnte, ob meine Überlegungen und Rechnungen stimmen, da ich das ganze gerne in einem Vortrag verwenden würde. Herzlichen Dank!
Liebe Grüsse und einen schönen Sonntag
Marianne
EDIT: Könnte ein Moderator die andere offene Frage auf geschlossen stellen? Herzlichen Dank.
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