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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - exp(ab) Lebesgue Int.bar
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exp(ab) Lebesgue Int.bar: Wie approximiere ich richtig?
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:02 Mo 06.12.2010
Autor: carlosfritz

Aufgabe
Zeige f: [mm] [0,1]^{2} \rightarrow \IR [/mm] ; (a,b) [mm] \mapsto e^{ab} [/mm] ist [mm] \lambda_{2}-Lebesgue-Int.bar. [/mm]


Hallo, ich kann hier durch euch begleitend diese Aufgabe lösen.

Nach unserer Definition, ist Eine Funktion Leb.Int.bar, wenn es eine [mm] L_{1}-Couchy-Folge [/mm] von Treppenfunktionen gibt, die punktweise (fastüberall) gegen die Funktion konvergiert.


D.h. also ich muss mir so eine Folge von Treppenfunktionen basteln. Da kommt die Reihenentwicklung von [mm] e^{xy} [/mm] ins Spiel. Jetzt aber schon meine erste Frage.

Kann ich sagen f= [mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(ab)^{i}}{i!} 1_{[0,1]^{2}} [/mm] ?



Dann könnte ich doch einfach setzen [mm] f_{i}:= \summe_{n=0}^{i}\bruch{(ab)^{n}}{n!} [/mm]

und f.a. i,k [mm] \in \IN [/mm] mit i [mm] \le [/mm] k setze ich [mm] A_{i,k}:= [\bruch{i-1}{k} [/mm] , [mm] \bruch{i}{k}] \times [/mm] [0,1]

Setze ich nun [mm] f^{(k)}:= \summe_{i=1}^{k}f_{i} 1_{A_{i,k}} [/mm]

Dann ist doch  [mm] f^{(k)} [/mm] eine Treppenfunktion und  [mm] (f^{(k)})_{k} [/mm] ein Folge von Treppenfunktionen.


Mein Problem ist nun zu zeigen, dass das gegen f konvergiert und dass es eine Couchy Folge ist (ich hoffe doch sie ist eine), da meine [mm] A_{i,k} [/mm] ja unterschiedlich sind für verschiedene k.



        
Bezug
exp(ab) Lebesgue Int.bar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:18 Di 07.12.2010
Autor: fred97

Der Def. bereich von f ist kompakt und f ist auf diesem stetig. Dann ist f L -integrierbar

FRED

Bezug
                
Bezug
exp(ab) Lebesgue Int.bar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:31 Di 07.12.2010
Autor: carlosfritz

hmm okay, das mag sein (oder auch nicht), das kenne ich leider (noch) nicht.

Sätze zur Integrierbarkeit hatten wir noch nicht. Außer: Wenn f-L-Intbar ist, dann auch |f|.

Bezug
                        
Bezug
exp(ab) Lebesgue Int.bar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:50 Di 07.12.2010
Autor: fred97


> hmm okay, das mag sein (oder auch nicht),


Was soll das ? Es ist so !

FRED


> das kenne ich
> leider (noch) nicht.
>  
> Sätze zur Integrierbarkeit hatten wir noch nicht. Außer:
> Wenn f-L-Intbar ist, dann auch |f|.


Bezug
                                
Bezug
exp(ab) Lebesgue Int.bar: Sorry
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:22 Di 07.12.2010
Autor: carlosfritz

Ich wollte damit nur zum Ausdruck bringen, dass ich es nicht verifizieren kann. Ich kann mir das nicht herleiten und behandelt haben wir dies auch nicht....

Bezug
        
Bezug
exp(ab) Lebesgue Int.bar: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:22 Mi 08.12.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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