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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - exp wesentliche Singularität
exp wesentliche Singularität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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exp wesentliche Singularität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:52 Fr 05.10.2018
Autor: Maxi1995

Hallo,
angenommen ich betrachte [mm] $\exp(-\frac{1}{z^2})$, [/mm] dann weiß ich, dass die Funktion im komplexen Nullpunkt eine wesentliche Singularität hat.
Sie ist dort in eine Laurentreihe entwickelbar, die auf ganz [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] normal konvergent ist.
Jetzt ist es doch so, dass die Laurentreihen auch unendlich oft komplex differenzierbar sind, was dann erklären würde, warum die Funktion im Reellen unendlich of differenzierbar ist, oder?

        
Bezug
exp wesentliche Singularität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:18 Fr 05.10.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  angenommen ich betrachte [mm]\exp(-\frac{1}{z^2})[/mm], dann weiß
> ich, dass die Funktion im komplexen Nullpunkt eine
> wesentliche Singularität hat.
> Sie ist dort in eine Laurentreihe entwickelbar, die auf
> ganz [mm]\mathbb{C}[/mm] normal konvergent ist.

Nicht auf ganz [mm] \IC, [/mm] sondern auf $ [mm] \IC \setminus \{0\} [/mm] $ ist die Laurentreihe lokal gleichmäßig konvergent.

> Jetzt ist es doch so, dass die Laurentreihen auch unendlich
> oft komplex differenzierbar sind, was dann erklären
> würde, warum die Funktion im Reellen unendlich of
> differenzierbar ist, oder?

Die Funktion $f(x)=  [mm] \exp(-\frac{1}{x^2}) [/mm] $ ist auf  $ [mm] \IR \setminus \{0\} [/mm] $ beliebig oft (reell) differenzierbar. Das sieht man mit der Kettenregel und vollständiger Induktion recht einfach.

Du kannst auch folgende Funktion betrachten:

[mm] $g(x)=\begin{cases} \exp(-\frac{1}{x^2}) , & \mbox{für }x \ne 0 \\ 0, & \mbox{für }x=0 \end{cases}$. [/mm]

In jedem Analysis- Buch findest Du: $g [mm] \in C^{\infty}(\IR)$ [/mm] und [mm] $g^{(n)}(0)=0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_0$. [/mm]




Bezug
                
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exp wesentliche Singularität: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:24 Sa 06.10.2018
Autor: Maxi1995

Hallo,
danke für deine Antwort. Würde meine Argumentation über die Laurentreihe auch gehen? Bzw. wenn nicht, wieso nicht. Und vielen Dank für die Alternative.

Bezug
                        
Bezug
exp wesentliche Singularität: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Do 11.10.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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