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explizite in rekursive Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Di 30.01.2018
Autor: Noya

Aufgabe
Wir betrachten die explizite Folge
[mm] c_n [/mm] = [mm] (2+\wurzel{3})^n [/mm] + [mm] (2-\wurzel{3})^n [/mm]
Geben Sie eine rekursive Definition dieser Folge an. Berechnen Sie ferner die Folgeglieder [mm] c_0,c_1,c_2 [/mm] und [mm] c_3. [/mm]

Hallöchen,

ich stelle mich mal wieder doof an.

In der Regel schreibt man sich ja dann [mm] c_{n+1} [/mm] auf und versucht da [mm] c_n [/mm] wieder einzufügen...

Aber ich " sehe" hier nichts...

[mm] c_n= (2+\wurzel{3})^n [/mm] + [mm] (2-\wurzel{3})^n [/mm]
[mm] =\underbrace{(2+\wurzel{3})*...*(2+\wurzel{3})}_{=n-mal}+\underbrace{(2-\wurzel{3})*...*(2-\wurzel{3})}_{=n-mal} [/mm]

hab mir das schon überlegt mit [mm] c_n=a^n+b^n [/mm] mit a [mm] =(2+\wurzel{3}), b=(2-\wurzel{3}) [/mm]

dann wäre [mm] c_{n+1}=a^{n+1}+b^{n+1}=a*a^n+b*b^n [/mm]
oder [mm] c_{n+2}=a^{n+2}+b^{n+2}=a^2*a^n+b^2*b^n [/mm]
etc.
ich müsste da ja jetzt irgendwie [mm] c_n=(a^n+b^n) [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] ausgeklammert bekommen..

Könnte mir hier einer bitte einen Tipp geben wie ich hier besser zurecht komme?

Liebe Grüße

        
Bezug
explizite in rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Di 30.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

überlege dir einfach mal, dass deine explizit gegebene Folge offensichtlich einer linearen Rekursion 2. Ordnung entspricht (vgl. die Binetsche Darstellung der Fibonacci-Zahlen).

Die Basen der Potenzen einer solchen Darstellung sind ja die Nullstellen des zugehörigen charakteristischen Polynoms. Also sollte dir hier das (ausmultiplizierte) Polynom

[mm]\left ( x-2-\sqrt{3} \right )*\left ( x-2+\sqrt{3} \right )[/mm]

entscheidend weiterhelfen.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
explizite in rekursive Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Di 30.01.2018
Autor: Noya


> Die Basen der Potenzen einer solchen Darstellung sind ja
> die Nullstellen des zugehörigen charakteristischen
> Polynoms. Also sollte dir hier das (ausmultiplizierte)
> Polynom

klar macht Sinn ...

>  
> [mm]\left ( x-2-\sqrt{3} \right )*\left ( x-2+\sqrt{3} \right )[/mm]
>  
> entscheidend weiterhelfen.

[mm] \left ( x-2-\sqrt{3} \right )*\left ( x-2+\sqrt{3} \right [/mm] ) = [mm] x^2-4x+1=0 [/mm]
also [mm] a_{n+2}=4*a_{n+1}-a_n [/mm]
mit [mm] a_0=2 [/mm]
[mm] a_1=4 [/mm]
[mm] a_2=14 [/mm]
[mm] a_3=52 [/mm]
Stimmt das soweit?

Danke!

Bezug
                        
Bezug
explizite in rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Di 30.01.2018
Autor: abakus

"Stimmt das soweit?"

Ja. Weiter geht es mit 194, 724 und 2702.

Bezug
        
Bezug
explizite in rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 Di 30.01.2018
Autor: abakus

"Aber ich " sehe" hier nichts..."

Um etwas zu sehen, reichen offene Augen nicht. Du brauchst auch vor deinen Augen etwas, was du ansehen kannst.
Also berechne für den Anfang mal die ersten Glieder und sieh DIE an.

Bezug
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