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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - exponentieller zerfall
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exponentieller zerfall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:25 So 27.09.2009
Autor: Vicky89

Aufgabe
Der Druck in Meereshöhe beträgt 1013hPa. Je 1000m nimmt er um 12% ab.
Wie hoch ist der Druck in 3000m Höhe.

Habe leider nicht die exakte Aufgabenstellung, aber so ungefähr war sie.
Ich weiß nicht genau, wie ich sie anzugehen habe,  denn eigentlich dachte ich, sie muss in der form [mm] N(t)=N_{0}*e^{kt} [/mm] bleiben.
Meine Lösung wäre [mm] 1013*0,88^{3} [/mm] gewesen bzw [mm] 1013*0,88^{\bruch{m}{1000}} [/mm]
Die gleichung dafür sollte man auch aufstellen, aber ich weiß nicht wirklich, wie ich sie in die andere form kriegen soll...
es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte...
        
Bezug
exponentieller zerfall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 So 27.09.2009
Autor: fencheltee


> Der Druck in Meereshöhe beträgt 1013hPa. Je 1000m nimmt
> er um 12% ab.
> Wie hoch ist der Druck in 3000m Höhe.
>  Habe leider nicht die exakte Aufgabenstellung, aber so
> ungefähr war sie.
> Ich weiß nicht genau, wie ich sie anzugehen habe,  denn
> eigentlich dachte ich, sie muss in der form
> [mm]N(t)=N_{0}*e^{kt}[/mm] bleiben.

naja du kennst das [mm] N_0 [/mm] ja, 1013hPa.. dann weisst du, dass der druck pro 1000m um 12% abnimmt, folglich:
[mm] N(s)=N_{0}*e^{ks} [/mm]
0.88= [mm] 1*e^{k*1km} [/mm]
dies ist nach k aufzulösen
da der exponent einheitenlos werden muss, ist $ k=irgendeine [mm] zahl*\frac{1}{km} [/mm] $
wenn das k bestimmt ist, sollte es auch kein problem mehr sein, auf 3000m zu schließen...
und [mm] e^{k*x}=(e^k)^s=0.88^s [/mm] kannst du dann auch noch erschließen ;-)
>  Meine Lösung wäre [mm]1013*0,88^{3}[/mm] gewesen bzw
> [mm]1013*0,88^{\bruch{m}{1000}}[/mm]
>  Die gleichung dafür sollte man auch aufstellen, aber ich
> weiß nicht wirklich, wie ich sie in die andere form
> kriegen soll...
>  es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte...

Bezug
                
Bezug
exponentieller zerfall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 So 27.09.2009
Autor: Vicky89

also, erstmal vielen dank für die antwort.
aber ehrlich gesagt weiß ich nicht so ganz, wie du das meinst...
wieso ist [mm] N_{0}=1 [/mm]  und nicht 1013?
und wieso k= irgendeine zahl * [mm] \bruch{1}{km} [/mm]
Bezug
                        
Bezug
exponentieller zerfall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 So 27.09.2009
Autor: rainerS

Hallo Vicki!

Dein Ansatz $ [mm] 1013\mathrm{hPa}\cdot{}0,88^{3} [/mm] $ ist im Prinzip richtig: Der Druck in Meereshöhe ist 1013hPa, also ist [mm] $N0=1013\mathrm{hPa}$. [/mm] (Übrigens darfst du in der Physik nie die Einheiten weglassen!) Da pro 1000m der Druck um 12% auf 88%=0.88 abnimmt, musst du [mm] $\displaystyle 0,88^{\bruch{3000m}{1000m}}$ [/mm] rechnen.

Jetzt musst du nur die Beziehung zur Formel [mm] $N(t)=N_{0}\cdot{}e^{kt} [/mm] $ herstellen. Das hat fencheltee versucht dir zu erklären.

Der Hintergrund ist, dass alle Exponentialfunktionen [mm] $e^x$, $a^x$ [/mm] oder [mm] $0.88^x$ [/mm] ähnlich sind und deswegen auf die Form [mm] $e^x$ [/mm] zurückgeführt werden können. Es gilt nämlich:

[mm] a^x = e^{x*\ln a} [/mm] (für $a>0$).

Wir wollen also die Beziehung zwischen [mm] $e^{kt}$ [/mm] und [mm] $0.88^3$ [/mm] herstellen. Dazu dividieren wir die Gleichung [mm] $N(t)=N_{0}\cdot{}e^{kt} [/mm] $ erst einmal durch [mm] $N_0$: [/mm]

[mm] \bruch{N(t)}{N_0} = e^{kt} [/mm]

Wenn wir nun von der Angabe 12% je 1000m Aufstieg ausgehen, so können damit t durch 1000m ersetzen und die ganze linke Seite durch 0.88:

[mm] 0.88 = e^{k*1000\mathrm{m}} [/mm]

(Hier solltest du fencheltees Gleichung wiedererkennen ;-))

Diese Gleichung kannst du lösen, indem du auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus bildest:

[mm] \ln 0.88 = \ln e^{k*1000\mathrm{m}} = k*1000\mathrm{m} \implies k = \bruch{\ln 0.88}{1000\mathrm{m}} \approx -1.28*10^4 \mathrm{m}^{-1}[/mm] .

Vergleich mit deinem Ergebnis:

[mm] 1013\mathrm{hPa}\cdot{}0,88^{3} \approx 690.3\mathrm{hPa} [/mm]

[mm] 1013\mathrm{hPa}\cdot{}e^{-1.28*10^4*3000} \approx 690.3\mathrm{hPa} [/mm]

Sieht gut aus. ;-)

Viele Grüße
   Rainer
Bezug
                                
Bezug
exponentieller zerfall: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:57 So 27.09.2009
Autor: Vicky89

Hallo Rainer,

vielen Dank für die Hilfe.
Ich glaube, ich habe es verstanden. :)

Lg
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