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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Do 26.08.2004 | | Autor: | bionda |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo,
ich sitze gerade über meinen Mathehausaufgaben und scheitere schon kurz nach dem Beginn. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Aufgabe:
f(x)= 1/12 (x³- 12x² + 36x)
An den Graphen von f wird im Punkt P (u/f(u)) mit 2 < u < 6 die Tangente gelegt. Diese Tangente schneidet die y-Achse im Punkt Q. Der Ursprung O bildet mit den Punkten P und Qein Dreieck.
Für welchen Wert von u wird der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal?
Mein Lösungsansatz:
Zielfunktion A= 2(a+b)
und schon scheitere ich...
Wie lautet nun die Nebenbedingung?? Ich brauche vorerst nur die Nebenbedingung, den Rest versuche ich dann irgendwie.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Do 26.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Bionda!
Ich kenne mich mit Nebenbedingungen nicht gut aus, aber du kannst es recht trickreich lösen:
Du leitest die Funktion ab und errechnest durch die Tangentengleichung den Schnittpunkt mit der Y-Achse. Dann kannst du über diesen Wert als Grundseite und den X-Wert zwischen 2 und 6 als Höhe den Flächeninhalt des gemeinten Dreieckes berechnen.
Bezeichne ich mit [mm]z(x)[/mm] den Schnittpunkt mit der Y-Achse, so gilt also:
[mm]a(x)=\frac{z(x)\cdot x}{2}[/mm]
Die kannst du nun ableiten und die Extremstellen errechnen.
Man könnte sich ja nun fragen: wieso soll das klappen, je weiter ich gehe um so größer wird doch der Flächeninhalt?!
Der Einwand ist korrekt, doch wird der Flächeninhalt rechts von 6 nach [mm]a(x)[/mm] kleiner Null sein, da der Schnittpunkt mit der Tangente mit der Y-Achse unter Null ist. Diese Punkte werden also kein MAximum sein können. Links von 2 ist dies genau so. Dort ist der Tangentenschnittpunkt evt. größer Null, doch dann der Fläceninhalt zu klein, als dass er ein maximum sein könnte. Für [mm]x<0[/mm] ist [mm]x[/mm] negativ, d.h. auch der Flächeninhalt. Daher lässt sich über die ganz normale Extremwertbestimmung schon der korrekte Extremwert ausrechnen.
Gruß,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Do 26.08.2004 | | Autor: | bionda |
Hallo,
erst einmal danke für die erklärung, doch ich verstehe nicht wie ich deine angegebene nebenbedingung ableiten soll... Kannst du mir oder jemand anderes bei meinem Problem (s. Extremwerte) helfen?
Es ist dringend!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Do 26.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Bionda.
In meiner Lösung habe ich doch gar keine Nebenbedingung angegeben. Ich habe ja einfach di Flächeninhaltsfunktion gebildet und ihre Extremwerte ermittelt. Dann habe ich noch begründet, warum dies auch funktoiniert, ohne Nebenbedingungen definiert zu haben.
Gruß,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Do 26.08.2004 | | Autor: | bionda |
Ohhh *blond*
Na ja, aber ich habe dann ja nur eine Variable gegeben... wie soll ich den flächeninhalt mit einer Variable lösen????????? Entschuldige, aber Mathe liegt mir leider so überhaupt nicht ;)
Gruß und vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Do 26.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi bionda.
Schau dir nochmal meine Erklärung an. Ich habe als einzigen Parameter die X-Position gegeben. Nun berechne ich die Tangente an der Stelle [mm](x|f(x))[/mm] und zudem auch ihren Schnittpunkt mit der Y-Achse. Der Flächeninhalt ist nun die Ordinate des Y-Achsenschnittpunktes - also die Höhe an sich, multipliziert mit der Höhe des Dreieckes, welches [mm]x[/mm] darstellt. Nun muss wegen der allgemeinen Flächenformel für das Dreieck noch die Hälfte abgezogen werden. Dann ist der Flächeninhalt berechnet.
Gruß,
Hanno
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Hallo!
Die Graphen der Funktion
[mm]f(x)=\bruch{1}{12}(x^{3}-12x^{2}+36x)[/mm]
[mm]f(x)=\bruch{1}{12}x^{3}-x^{2}+3x[/mm]
und der besagten Tangente sind folgende:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Ableitung der Funktion ist:
[mm]f^{\prime}(x)=\bruch{1}{4}x^2-2x+3[/mm]
Die Gleichung der Tangente ist:
[mm]y-f(u)=f^{\prime}(u)(x-u)[/mm]
Diese Gerade müssen wir mit der y-Achse schneiden (Punkt Q(0|yQ)):
In der letzten Gleichung setzen wir x = 0, und lösen nach y:
[mm]y_{Q}=f(u)-uf^{\prime}(u)[/mm]
Wie aus der Zeichnung zu entnehmen, ist der Flächeninhalt des Dreiecks:
[mm]S=\bruch{1}{2}y_{Q}u[/mm]
Diese Funktion musst du maximieren auf dem Intervall (2;6).
Ich habe das Ergebnis [mm]u=\bruch{9}{2}[/mm] erhalten.
Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet. 
Schöne Grüße,
Ladis
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Do 26.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Ladisrau.
Ich habe das gleiche Ergebnis heraus.
Gruß,
Hanno
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Hallo Hanno!
dann ist es vermutlich richtig. Danke für die Bestätigung!
Schöne Grüße,
Ladis
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