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Forum "Extremwertprobleme" - extremwerte
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extremwerte: dose mit max flächeninhalt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Mi 01.06.2005
Autor: thary

halloo..ich mal wieder..
ich stehe vor einer aufgabe..
eine zylinderförmige belchdose mit gegebener oberfläche:
bestimme die abmessungen der dose mit maximalem inhalt.

ok, die aufgabe ist allgemein gedacht und ich habe mir nun folgender gedacht. die formel zur oberfläche $O=2 [mm] \pi*r*h+2 \pi*r²$ [/mm]
habe ich nach h umgestellt.
$h=O-2 [mm] \pi*r²/2 \pi*r$ [/mm]
das habe ich dann in die volumenformel eingesetzt und nach kürzen das hier rausbekommen.

$V=Or- [mm] \pi*r³$ [/mm]

jetzt miene frage. ist das richtig?vom ansatz und vom rechnen? und dann, wenn es richtig ist, ist pi eine konstante bei der ableitung?

vielen dank!

        
Bezug
extremwerte: Fast alles richtig ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:08 Mi 01.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo thary!


> die formel zur oberfläche [mm]O=2 \pi*r*h+2 \pi*r²[/mm]

[daumenhoch]

  

> habe ich nach h umgestellt.
> [mm]h=O-2 \pi*r²/2 \pi*r[/mm]

[aufgemerkt] Klammern setzen nicht vergessen!

$h \ = \ [mm] \red{(}O-2\pi*r^2\red{)} [/mm] / [mm] \red{(}2\pi*r\red{)}$ [/mm]


Besser als Bruch schreiben: $h \ = \ [mm] \bruch{O-2\pi*r^2}{2\pi*r} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{O}{2\pi*r} [/mm] - r$


> das habe ich dann in die volumenformel eingesetzt und nach
> kürzen das hier rausbekommen.  
> [mm]V=Or- \pi*r³[/mm]

[notok] Fast richtig! Hier ist Dir doch glatt der Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] durch die Lappen gegangen:

$V(r) \ = \ [mm] \bruch{O}{\red{2}}*r [/mm] - [mm] \pi*r^3$ [/mm]


> jetzt meine frage. ist das richtig? vom ansatz und vom rechnen?

[ok] Fast ... siehe oben!


> und dann, wenn es richtig ist, ist pi eine konstante bei der ableitung?

Ja, die Kreiszahl [mm] $\pi [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 3,14159$ ist und bleibt eine Konstante.

Auch die Oberfläche $O$ ist hier als konstant anzusehen, so daß Du "nur" nach der Variable $r$ ableiten mußt ...


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
extremwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Mi 01.06.2005
Autor: thary

danke!!
nun ein weiteres problem. in der lösung, die ich habe, steht drin, das aus dem ergebnis r= [mm] \wurzel{A/6\pi} [/mm] folgt, dass h=2r ist. darauf komme ich gar nicht, und ich habe als ergebnis sowieso r= [mm] \wurzel{A/4\pi} [/mm] raus. was ist nun richtig und wie komme ich dann auf h?


und eine frage nebenbei: wie kann ich denn einen bruch in der bruchschreibweise hier schreiben?
danke!

Bezug
                        
Bezug
extremwerte: Dein Wert ist falsch!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:26 Mi 01.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo thary!

> nun ein weiteres problem. in der lösung, die ich habe,
> steht drin, das aus dem ergebnis r= [mm]\wurzel{A/6\pi}[/mm] folgt,
> dass h=2r ist. darauf komme ich gar nicht, und ich habe als
> ergebnis sowieso r= [mm]\wurzel{A/4\pi}[/mm] raus. was ist nun
> richtig und wie komme ich dann auf h?

Also ich erhalte auch [mm] $r_E [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{O}{6\pi}}$ [/mm]

(Klick die Formel, und du siehst die Schreibweise. Siehe auch unten!)


Wie lautet denn Deine 1. Ableitung $V'(r) \ = \ ...$ ?

Oben hatten wir doch ermittelt: $h \ = \ [mm] \bruch{O-2\pi*r^2}{2\pi*r}$ [/mm]

Wenn Du hier dann einsetzt [mm] $r_E [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{O}{6\pi}}$, [/mm] kommt wirklich heraus:

[mm] $h_E [/mm] \ = \ [mm] 2*\wurzel{\bruch{O}{6\pi}} [/mm] \ = \ [mm] 2*r_E$ [/mm]


> und eine frage nebenbei: wie kann ich denn einen bruch in
> der bruchschreibweise hier schreiben?

Aus \bruch{Zähler}{Nenner}  wird  [mm] $\bruch{Z"ahler}{Nenner}$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
extremwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Mi 01.06.2005
Autor: thary

[mm] $V'(r)=\bruch [/mm] {A}{2}-2 [mm] \pi*r²$ [/mm]

das setz ich dann =0 und dann kommt bei mir [mm] A/4\pi [/mm] raus...

Bezug
                                        
Bezug
extremwerte: Gegenfrage ;-)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Mi 01.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo!


Was hältst Du davon, aus [mm] $r^{\red{3}}$ [/mm] in der Ausgangsfunktion ein [mm] $\red{3}*r^2$ [/mm] in der Ableitung zu machen?


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                
Bezug
extremwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:35 Mi 01.06.2005
Autor: thary

das wäre schlau!
danke!

Bezug
                                                        
Bezug
extremwerte: Siehste ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:37 Mi 01.06.2005
Autor: Roadrunner

.


Und erhältst Du damit auch die anderen "gewünschten" Ergebnisse?


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                                
Bezug
extremwerte: werd verrückt..
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Mi 01.06.2005
Autor: thary

ich komme aber immer noch nicht auf h=2r
es kommt einfach nich raus..

Bezug
                                                                        
Bezug
extremwerte: Umformungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Mi 01.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo thary!


Na, dann werden wir mal ...


Wir hatten: $r \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{O}{6\pi}}$ [/mm]   bzw.   [mm] $r^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{O}{6\pi}$ [/mm]


Eingesetzt in $h \ = \ [mm] \bruch{O-2\pi*r^2}{2\pi*r}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{O-2\pi*\bruch{O}{6\pi}}{2\pi*\wurzel{\bruch{O}{6\pi}}}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{O-\bruch{O}{3}}{\wurzel{2^2*\pi^2}*\wurzel{\bruch{O}{6\pi}}}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{\bruch{2}{3}*O}{\wurzel{4*\pi^2*\bruch{O}{6\pi}}}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{\bruch{2}{3}*O}{\wurzel{\bruch{2}{3}\pi*O}}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{2*\wurzel{\left(\bruch{1}{3}*O\right)^2}}{\wurzel{\bruch{2}{3}\pi*O}}$ [/mm]

$= \ [mm] 2*\wurzel{\bruch{\bruch{1}{9}*O^2}{\bruch{2}{3}\pi*O}}$ [/mm]

$= \ [mm] 2*\wurzel{\bruch{\bruch{1}{9}*\bruch{3}{2}*O^2}{\pi*O}}$ [/mm]

$= \ [mm] 2*\wurzel{\bruch{\bruch{1}{6}*O}{\pi}}$ [/mm]

$= \ [mm] 2*\blue{\wurzel{\bruch{O}{6\pi}}} [/mm] \ = \ [mm] 2*\blue{r_E}$ [/mm]


Nun alle Klarheiten beseitigt?

Gruß vom
Roadrunner


Bezug
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