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| Aufgabe | | gegeben ist ein schaubild, wenn man eine tangente an einen punkt p legt begrenzt dieser das schaubild so dass die tangente mit der x und der y-achse ein dreieck bildet. Für welche Lage der Tangente wird die Fläche maximal? |
kann mir jemand erklären wie der ansatz bei solch einer aufgabe geht????
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Hallo!
mit Schaubild ist wohl eine Funktion gemeint?
Nun, du mußt erstmal die Gleichung für die Tangente berechnen. Der Punkt p ist ja gegeben durch [mm] $(x_p|y_p)=(x_p|f(x_p))$.
[/mm]
Die Steigung der gesuchten Grade ist nun [mm] $m=f'(x_p)$.
[/mm]
Fehlt dir noch der y-Achsenabschnitt, den bekommst du über $y=mx+b$. Diese Formel gilt auch für dein p, also [mm] $y_p=f(x_p)=mx_p+b$
[/mm]
Damit hast du den y-Achsenabschnitt und so auch gleich die Höhe des Dreiecks berechnet!
Die Breite ergibt sich aus der Nullstelle, also
$mx+b=0$ (Das $x$ in dieser Zeile ist NICHT [mm] x_p [/mm] , aber die [mm] x_p's [/mm] in m und b bleiben bestehen!!!)
Das x, das du herausbekommst, ist die Breite des Dreiecks.
Und nun gilt Fläche=Breite x Höhe /2. das enthält als Parameter nur noch [mm] x_p. [/mm] Gesucht ist das Maximum der Fläche, also nach [mm] x_p [/mm] ableiten, und Nullstelle suchen!
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vielen dank, ich habe das jetzt konkret versucht mit der funktion
f(x) =x²-8x+16
kann das aber i-wie nicht anwenden, kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Mo 25.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> vielen dank, ich habe das jetzt konkret versucht mit der
> funktion
> f(x) =x²-8x+16
das ist ne Parabel mit Scheitel bei (4,0)
du kannst ne Tangente rechts oder links vom Scheitel nehmen.
1. nenn den Punkt, wo die Tangente die Parabel berührt (x1,y1)
2. berechne y' und y'an der Stelle x1. die Steigung nennst du m=f'(x1)
3. jetzt hast du ne Gerade, die durch (x1,y1) geht [mm] y1=x1^2-8x1+16 [/mm] und die Steigung m hat.
entweder du schreibst y=mx+b und bestimmst b durch einsetzen von x1,y1 in die Gleichung, oder du kennst die Punktsteigungsform einer Geraden und setzest da Steigung und Punkt ein.
4. jetz suchst du von der Geraden den Schnittpunkt mit der y-Achse (x 0setzen) das ist eine Kathete des Dreiecks,
und den Schnittpunkt mit der x Achse ( y=0) das ist die andere Kathete des Dreiecks.
Produkt der Katheten geteilt durch 2 ist die Fläche.
dabei ist in allen Gleichungen das x1 drin.
Gruss leduart
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was meinst du mit 2.) könntest du das vllt nochmal genauer erklären, wäre nett, danke...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Di 26.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Steigung der Tangente im Punkt (x1,f(x1)) ist m=f'(x1)
du musst also differenzieren,
Gruss leduart
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wenn ich das ja dann aber in die punktsteigungsform einsetzte steht da ja:
y-(x1²-8x1+16) = (2x1-8) (x-x1) + b
wie löse ich jetzt die gleichung nach b auf wenn ich so viele unbekannte habe, oder stimmt da was nicht mit x und x1???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Di 26.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> wenn ich das ja dann aber in die punktsteigungsform
> einsetzte steht da ja:
> y-(x1²-8x1+16) = (2x1-8) (x-x1) + b
>
> wie löse ich jetzt die gleichung nach b auf wenn ich so
> viele unbekannte habe, oder stimmt da was nicht mit x und
> x1???
ich sagte doch, wenn du die Punkt-Steigungsform kennst ist darin indirekt ja b enthalten: deine Tangente ist also schon richtig ohne b also
y-(x1²-8x1+16) = (2x1-8) (x-x1)
aufgelöst y=2(x1-8)*x +[(x1²-8x1+16)-(2x1-8)*x1]
das in der [..] Klammer ist dein b, also der Schnittpunkt mit der y-Achse. (noch vereinfachen!)
jetzt brauchst du nur noch den Schnittpkt mit der x-Achse.
dann hast du die 2 Katheten deines Dreiecks.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:15 Di 26.06.2007 | | Autor: | schuelerin11 |
sorry tut mir echt leid aber so ganz kapier ich des alles noch nicht...für y kommt jetzt 16 raus. das kann ja stimmen aber wenn ich y gleich 0 setzte gehts i-wie ned...warum gibt es x1 und x kann man das nicht i-wie zusammenfassen??wäre nett wenn mir nochmal jemand helfen könnte...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Di 26.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh dich nicht ganz. Hast du denn einen Punkt (x1,y1) gegeben? sonst kann doch keine Zahl rauskommen.
schreib mal, was du bisher gerechnet hast.
wie sieht die gleichung deiner Tangente aus?
und wie kommst du auf die 16?
Gruss leduart
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ich habe nur die funktion gegeben...
nachdem ich die gleichung vereinfacht habe und x=0 ist hab ich:
y= -x1²+16
für
x= (x1²-16) (2x1-16)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Di 26.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ich habe nur die funktion gegeben...
> nachdem ich die gleichung vereinfacht habe und x=0 ist hab
> ich:
> y= -x1²+16
ja das ist der Abschnitt auf der y-Achse, ich nenn ihn lieber [mm] b=-x1^2+16
[/mm]
>
> für
>
> x= (x1²-16) (2x1-16)
da sind 2 Fehler y=0 für [mm] x=a=\bruch{(x1^2-16)}{(2x1-8)}=\bruch{(x1+4)*(x1-4)}{2*(x1-4)=1/2*(x1+4)}
[/mm]
So und jetzt ist der Flächeninhalt deines Dreiecks 1/2*a*b
du hast als einzige "variable den Punkt x1 drin, wenn du also den maximalen Flächeninhalt suchst musst du die Funktionnach x1 differenzieren, um das Maximum zu finden: wenn es mehrere Werte davon gibt, das aussuchen, was zwischen 0 und 4 liegt.
Gruss leduart
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