f-invariante UVR im R^{2} < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (i) Zeigen Sie, dass jeder 1-dimensionaler Untervektorraum U des [mm] \IR^{2} [/mm] ein maximaler f-invarianter Unterraum für ein geeignetes f [mm] \in End(\IR^{2}) [/mm] ist. Ist U auch ein Eigenraum für ein geeignetes f?
(ii) Finden Sie ein Beispiel eines Vektorraumes V und eines Endomorphismus f auf V so, dass V einen echten Untervektorraum hat, der f-invariant ist aber kein Eigenraum eines Eigenwertes von f. |
Hallo
ich habe ein kleines Problem mit Aufgabenteil i und zwar versteh ich nicht ganz was ich zeigen soll...
Meiner meinung nach ist zu zeigen, dass jeder eindimensionaler UVR des [mm] \IR^{2} [/mm] ein maximnaler f -invarianter Unterraum für ein geigentes f [mm] \in End(\IR^{2}) [/mm] ist.. Mein Problem ist nur ich weiß nicht recht was mit der Frage danach anzufangen aber die ist ja auch nicht richtig relevant oder?...ich vermute das mich mein Beweis zu einer Antwort der Frage führen soll oder?
Ich habe mir bisher überlegt, dass die eindimensionalen UVR des [mm] \IR^{2} [/mm] gerade die Ursprungsgeraden der Form f(x)=mx+n sind. Aber kann ich diese Form überhaupt für den Beweis nutzen?...
Was muss ich denn dafür zeigen um zusagenb, dass es sich um einen maximalen f-i´nvarianten UVR handelt. Für f-invariant muss ich ja zeigen das f(U) [mm] \subset [/mm] U ist..aber mich verwirrt diese maximal kann mir das bitte jemand erklären?
LG Schmetterfee
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Hallo...
ich habe ne Beweisidee zu Frage i und möchte von euch wissen ob ichd as so formulieren kann bzw ob es überhaupt korrekt ist.
Also zu zeigen ist ja das jeder eindimensionaler UVR U des [mm] \IR^{2} [/mm] ein maximaler f-invarianter Unterraum für ein f [mm] \in Ende(\IR^{2}) [/mm] ist.
Nun sind die eindimensionalen UVR gerade die Ursprungsgeraden und diese kann man darstellen als [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{a} [/mm] mit [mm] \lambda \in \IR.
[/mm]
Also ist zu zeigen, dass [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{a} [/mm] f-invarianter UVR für ein geeignetes f ist.
Sei [mm] \vec{a} [/mm] ein beliebiger Vektor aus [mm] \IR^{2} [/mm] und f: [mm] \vec{a} \to \lambda [/mm] * [mm] \vec{a} [/mm] ein Endomorphismus. Dann bildet [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{a} [/mm] einen UVR des [mm] \IR^{2}.
[/mm]
Daraus folgt bereits, dass [mm] \lambda [/mm] * [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{a} \in \lambda [/mm] * [mm] \vec{a}. [/mm] (aufgrund der abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation).
Nun ist [mm] f(\vec{a})= \lambda [/mm] * [mm] \vec{a} [/mm] und f( [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{a})= \lambda [/mm] * [mm] \lambda *\vec{a}
[/mm]
Um ein f-invarianter UVR zu sein, muss f(U) [mm] \subset [/mm] U gelten. Da aufgrund der Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation [mm] \lambda*\vec{a} [/mm] also [mm] f(\vec{a}) [/mm] und [mm] \lambda [/mm] * [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vec{a} [/mm] also [mm] f(\lambda [/mm] * [mm] \vec{a}) [/mm] in U liegt. Ist U ein f-invarianter UVR.
Kann ich dies so ziegen oder mach ich mir das irgendwo zu einfach?
aber wie begründe ich das das es maximal ist?..mach ich das darüber das es sonst nur den Nullraum und ganz [mm] \IR^{2} [/mm] als weitere UVR gibt oder wie?
Bitte helft mir
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Ersty |
maximal kann dir keiner beantworten, weils aus der Aufgabenstellung gestrichen worden ist, vlt kann mans gar nicht beweisen! Wir müssen es jedenfalls nicht, ist dir aber bestimmt schon selber aufgefallen.
Kommst du dann mit (i) und (ii) zurecht, oder brauchst du da noch Tipps?
LG Ersty
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Jim |
Hi,
ich habe zur Zeit auch das Thema Eigenwerte und Eigenräume und würde gerne wissen wie ich so eine Aufgabe lösen könnte. Muss der Untervektorraum der eindimensional ist , immer eine Gerade sein??
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Hiho,
sei U ein eindimensionaler UVR des [mm] \IR^2, [/mm] dann existiert ein Basisvektor $u = [mm] \vektor{u_1 \\ u_2}$ [/mm] mit $U = <u> = [mm] \{x\in\IR^2 | x=\lambda u, \lambda\in\IR\} [/mm] = [mm] \{\vec{x} | \vec{x} = \vektor{0 \\ 0} + \lambda\vektor{u_1 \\ u_2}\, \lambda\in\IR\}$
[/mm]
Und das geübte Auge erkennt dort gerade eine Geradengleichung im [mm] \IR^2.
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Jim |
Hi
danke für die schnelle Antwort und wie kann ich dies nun auf die Aufgabe verwenden??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Rongo |
bin neu hier und weiß nicht ob die art so zu antworten euch hilft
also zu frage 1.1:
ich würd einfach mal ein geeignetes f finden (Hier Matrix form) sodass gilt
f(U) [mm] \subseteq [/mm] U ist (es gibt eine die das für alle U's macht)
zu 1.2:
naja es sind ja nur die gerade durch den ursprung Untervektorräume von dim=1 (Beweis dafür war glaub ich schon bzw is recht einfach)
dann muss man eine A=2x2 abbildungsmatrix finden sodass gilt
A*(x,y)=0 => y=mx für alle gerade bis auf die achsen.
für dieses A überlegt man sich nun eine andere B= 2x2 matrix welche einen [mm] eigenwert=\gamma [/mm] hat sodass gilt
[mm] (B-\gamma*E)=A [/mm]
zu 2:
naja wenn man 1.1 gemacht hat ergibt sich eine lösung hier schnell.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 10.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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