f-invariante UVRe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:36 Di 29.06.2004 | | Autor: | antimatheass |
Ich bräuchte da mal Hilfe bei folgender Aufgabe:
Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und F ein Endomorphismus von V. Zeigen Sie: Ist das charakteristische Polynom von F in K[X] irreduzibel, so sind {0} und V die einzigen F-invarianten Untervektorräume von V.
Dann bräuchte ich auch noch den Beweis der Umkehrung der Aussage. Das ist allerdings nicht ganz so dringend.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Di 29.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Hattet ihr schon den folgenden Satz:
Ist $F:V [mm] \to [/mm] V$ ein Endomorphismus und $U$ ein $F$-invarianter Unterraum, dann ist das charakteristische Polynom [mm] $CP_{F|U}$ [/mm] von $F|U : U [mm] \to [/mm] U$ ein Teiler des charakteristischen Polynomas von [mm] $CP_F$?
[/mm]
Daraus würde ja, wenn $F$ irreduzibel ist, für jeden invarianten Unterraum sofort
[mm] $CP_{F|U}(x)=1$ [/mm] oder [mm] $CP_{F|U}(x) [/mm] = [mm] CP_F(x)$
[/mm]
folgen, und damit
[mm] $U=\{0\}$ [/mm] oder $U=V$.
Also, hattet ihr den Satz bereits?
Liebe Grüße
Julius
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Nein, den Satz hatten wir leider noch nicht...
Geht es auch irgendwie anders??
Lieben Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Mi 30.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich sehe gerade keine andere Möglichkeit.
Aber dann machen wir uns doch die Aussage gerade mal klar:
Gibt es einen invarianten Unterraum $U [mm] \ne \{0\}$, $\dim(U)=k\ge [/mm] 1$, so gibt es eine Basis, so dass die Darstellungsmatrix $M$ der linearen Abbildung $F$ die folgende Gestalt hat:
$M = [mm] \begin{pmatrix} A & \* \\ 0 & D \end{pmatrix}$.
[/mm]
$A$ und $D$ sind Matrizen, in [mm] $\*$ [/mm] steht irgendetwas, was gerade mal nicht interessiert.
In $A$ stehen die Koordinaten der Bilder von Basiselementen aus $U$ unter $F|U$.
Dann sieht die Matrix $M - [mm] \lambda E_n$ [/mm] wie folgt aus:
$M - [mm] \lambda E_n [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} A - \lambda E_k & \* \\ 0 & D-\lambda E_{n-k} \end{pmatrix}$.
[/mm]
Da die Determinante einer solchen Blockmatrix mit einem Nullblock gerade durch
[mm] $\det(M [/mm] - [mm] \lambda E_n) [/mm] = [mm] \det(A [/mm] - [mm] \lambda E_k) \cdot \det(D [/mm] - [mm] \lambda E_{n-k})$.
[/mm]
Wegen
[mm] $CP_F(\lambda) [/mm] = [mm] \det(M [/mm] - [mm] \lambda E_n)$ [/mm] und [mm] $CP_{F|U}(\lambda) [/mm] = [mm] \det(A [/mm] - [mm] \lambda E_k)$ [/mm]
folgt die Behauptung:
[mm] $CP_{F|U} \, |\, CP_F$.
[/mm]
Jetzt kannst du meiner Argumentation aus meinem ersten Posting folgen.
Liebe Grüße
Julius
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Alles klar, so wirds gehen.
Vielen Dank!!
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