f:\IQ\to\{0,1\} stetig? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Move |
| Aufgabe | | Man finde eine stetige Funktion [mm] f:\IQ\to\{0,1\} [/mm] mit f(0)=0 und f(1)=1 |
Ich habe keine Ahnung, wie man da rangehen soll.
Es gilt doch zumindest für einen Wert a [mm] \in [/mm] (0,1), [mm] a\in\IQ [/mm] , dass [mm] f(a-\delta)-f(a)=1>\epsilon, [/mm] weil ja nur die Werte 1 und 0 erlaubt sind.
Wie kann die Funktion dann stetig sein?
Ich weiß also absolut nicht weiter und würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Was ist denn, wenn Du alle [mm] q<\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] auf die 0 abbildest und alle [mm] q>\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] auf die 1?
Das sollte gehen, oder bin ich gerade etwas blauäugig?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Move |
Danke für deine schnelle Antwort!
Ich denke ich weiß nach längerem Überlegen und Nachschlagen, worauf du hinauswillst. Es ist nämlich [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] keine rationale Zahl und in jeder Umgebung einer rationalen Zahl liegt eine reelle Zahl.
Wenn wir jetzt Folgen nehmen, die von rechts und von links gegen [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] gehen, sieht man, dass [mm] \limes_{x\rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}^{-}}f(x)=0 [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}^{+}}f(x)=1. [/mm] Und weil eben [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] keine rationale Zahl ist, sind nur [mm] f(\frac{1}{\sqrt{2}}+\delta) [/mm] und [mm] f(\frac{1}{\sqrt{2}}-\delta) [/mm] defniert. Damit existiert ein linksseitiger und ein rechtsseitiger Grenzwert und f ist stetig. Richtig?
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> Danke für deine schnelle Antwort!
> Ich denke ich weiß nach längerem Überlegen und
> Nachschlagen, worauf du hinauswillst. Es ist nämlich
> [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm] keine rationale Zahl und in jeder
> Umgebung einer rationalen Zahl liegt eine reelle Zahl.
> Wenn wir jetzt Folgen nehmen, die von rechts und von links
> gegen [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm] gehen, sieht man, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=0[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=1.[/mm] Und weil eben
> [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm] keine rationale Zahl ist, sind nur
> [mm]f(\frac{1}{\sqrt{2}}+\delta)[/mm] und
> [mm]f(\frac{1}{\sqrt{2}}-\delta)[/mm] defniert. Damit existiert ein
> linksseitiger und ein rechtsseitiger Grenzwert und f ist
> stetig. Richtig?
>
Hallo,
ich glaube schon, daß Du die Idee verstanden hast.
Allerdings ist mir nicht ganz klar, was Du tust. Warum läßt Du Folgen gegen [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] laufen?
Das Vorgehen wäre doch eher anders - legt man die def. der Stetigkeit zugrunde:
man würde zeigen daß für jedes [mm] q\in \IQ [/mm] gilt: konvergiert die Folge [mm] (q_n) [/mm] gegen q, so konvergiert die Folge der Funktionswerte [mm] (f(q_n)) [/mm] gegen f(q).
Oder wenn Du mit dem [mm] \varespsilon-\delta-Kriterium [/mm] arbeitest: hier kannst Du nun zu jedem beliebigen [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0 [/mm] angegeben, so daß das Bild der [mm] \delta- [/mm] Umgebung von q in der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von f(q) liegt.
Als [mm] \delta [/mm] kannst Du zb. den halben Abstand zwischen q und [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] wählen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Move |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Warum läßt Du Folgen gegen $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ laufen?
Kann ja sein, dass das nicht korrekt ist, aber ich habe halt gesagt, dass ich, weil $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ kein Element von \IQ ist, die Folgen gegen $ \frac{1}{\sqrt{2}}+\delta $ und $ \frac{1}{\sqrt{2}}-\delta $ laufen lasse. \delta wäre quasi die Umgebung von $ \frac{1}{\sqrt{2}} $, in der eine reelle Zahl liegt. Und dann habe ich versehentlich geschrieben limf(x) und nicht lim(x_{n}}.
Deine \Epsilon - \Delta - Formulierung finde ich aber sowieso eleganter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
Wenn du mit der Folgenstetigkeit arbeiten willst, dann läuft es sowieso auf fast dasselbe wie die [mm]\epsilon - \delta - Formulierung[/mm] hinaus, da du ja zu jeder rationalen Zahl q, die du als Grenzwert der Folge [mm] (q_n) [/mm] hast, ein [mm] \epsilon [/mm] (dessen Existenz aus der Konvergenz folgt) angeben kannst, sodass fast alle [mm] q_n [/mm] in [mm] (q-\epsilon,q+\epsilon) [/mm] liegen, aber nicht [mm] \frac{1}{\sqrt{2}}, [/mm] wodurch die Folge [mm] f(q_n) [/mm] für fast alle [mm] q_n [/mm] konstant ist.
Aber etwas anderes was du dir überlegen solltest: Darfst du benutzen, dass [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] keine rationale Zahl ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Move |
Danke für den Hinweis, wir haben aber in der Vorlesung gezeigt, dass [mm] \sqrt{2} [/mm] keine rationale Zahl ist. Dann kann ihr muliplikatives Inverses auch keine rationale Zahl sein.
Nochmals vielen Dank für eure Hilfe!
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