f' beschr.->lipschitz-stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Zeppe888 |
| Aufgabe | Eine Funktion f : I -> R heißt Lipschitz-stetig, wenn es ein L [mm] \in \IR [/mm] gibt, sodass
fur alle [mm] x_{1}; x_{2} \in [/mm] I
[mm] |f(x_{1})-f(x_{2})| \le L|x_{1}-x_{2}|
[/mm]
gilt.
Zeigen Sie, dass eine di fferenzierbare Funktion, deren Ableitung beschränkt ist, Lipschitz-stetig ist. |
Meine Lsg:
obdA: [mm] x_{1} [/mm] > [mm] x_{2}
[/mm]
=> [mm] \bruch{f(x_{1})-f(x_{2}}{x_{1}-x_{2}} \le [/mm] L
=> um die Gleichung zu erfüllen muss [mm] \bruch{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}} [/mm] beschränkt sein.
da f'(x)= [mm] \bruch {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}} [/mm] ist jede diffbare Fkt, deren Ableitung beschränkt ist, Lipschitz-stetig.
Ist das so richtig? Fehlt eventuell noch etwas?
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Hallo,
> Eine Funktion f : I -> R heißt Lipschitz-stetig, wenn es
> ein L [mm]\in \IR[/mm] gibt, sodass
> fur alle [mm]x_{1}; x_{2} \in[/mm] I
> [mm]|f(x_{1})-f(x_{2})| \le L|x_{1}-x_{2}|[/mm]
> gilt.
> Zeigen Sie, dass eine di fferenzierbare Funktion, deren
> Ableitung beschränkt ist, Lipschitz-stetig ist.
> Meine Lsg:
>
> obdA: [mm]x_{1}[/mm] > [mm]x_{2}[/mm]
> => [mm]\bruch{f(x_{1})-f(x_{2}}{x_{1}-x_{2}} \le[/mm] L
> => um die Gleichung zu erfüllen muss
> [mm]\bruch{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}[/mm] beschränkt sein.
> da f'(x)= [mm]\bruch {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}[/mm]
Na, das stimmt ja so nicht. Du hast den Grenzwert [mm] lim_{x_1\to x_2} [/mm] vergessen.
> ist jede
> diffbare Fkt, deren Ableitung beschränkt ist,
> Lipschitz-stetig.
>
> Ist das so richtig? Fehlt eventuell noch etwas?
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Zeppe888 |
> > => um die Gleichung zu erfüllen muss
> > [mm]\bruch{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}[/mm] beschränkt sein.
> > da f'(x)= [mm]\bruch {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}[/mm]
>
> Na, das stimmt ja so nicht. Du hast den Grenzwert
> [mm]lim_{x_1\to x_2}[/mm] vergessen.
Ok, aber kann man denn dann schreiben:
weil [mm] \bruch{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}} [/mm] beschränkt ist, ist auch
[mm] lim_{x_1\to x_2} \bruch{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}} [/mm] beschränkt?
Wäre das dann der Schritt der noch fehlt oder ist die Überlegung an sich falsch?
Gruß Zeppe
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Nein, das kannst du nicht so sagen. Beispielsweise ist [mm] \sqrt{x} [/mm] auf (0,1) beschränkt, aber die Ableitung ist es nicht.
Verfolge lieber den Ansatz mit dem MWS.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Mo 25.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Nur so als Tip: Mittelwertsatz...
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Zeppe888 |
> Nur so als Tip: Mittelwertsatz...
also ich seh hier nicht wie mir der Mittelwertsatz weiterhilft.
Kannst du vielleicht den Anfang der Rechnung eintippen und die Idee die dahinter steckt?
Gruß Zeppe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mo 25.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Der Mittelwertsatz sagt: für alle [mm] $x,y\in [/mm] I$ gibt es ein [mm] $\xi\in [/mm] I$ sodass [mm] $f(x)-f(y)=f(\xi)\cdot(x-y)$. [/mm] Jetzt malst du noch Beträge drum und nutzt aus, dass die Ableitung beschränkt ist und schon steht es da...
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Zeppe888 |
> Der Mittelwertsatz sagt: für alle [mm]x,y\in I[/mm] gibt es ein
> [mm]\xi\in I[/mm] sodass [mm]f(x)-f(y)=f(\xi)\cdot(x-y)[/mm]. Jetzt malst du
> noch Beträge drum und nutzt aus, dass die Ableitung
> beschränkt ist und schon steht es da...
Also ich schreibs jetzt mal hin:
MWS: [mm] \xi\in [/mm] I sodass [mm] f(x)-f(y)=f'(\xi)\cdot(x-y)
[/mm]
<=> [mm] |f(x)-f(y)|=|f'(\xi)|\cdot|(x-y)| \le [/mm] L*|x-y| weil [mm] f'(\xi) [/mm] beschränkt ist mit [mm] L\ge0 [/mm] .
Ist das dann so richtig und komplett?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Mo 25.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> Also ich schreibs jetzt mal hin:
> MWS: [mm]\xi\in[/mm] I sodass [mm]f(x)-f(y)=f'(\xi)\cdot(x-y)[/mm]
> <=> [mm]|f(x)-f(y)|=|f'(\xi)|\cdot|(x-y)| \le[/mm] L*|x-y| weil
> [mm]f'(\xi)[/mm] beschränkt ist mit [mm]L\ge0[/mm] .
>
> Ist das dann so richtig und komplett?
Nein. Schreibe schöne ordentliche Sätze und vor allem schreib keine Äquivalenzpfeile wenn die Rückrichtung gar nicht gilt. So:
Sei $L>0$ so, dass [mm] $|f'(x)|\le [/mm] L$ für alle [mm] $x\in [/mm] I$. Zu jedem [mm] $x,y\in [/mm] I$ gibt es [mm] $\xi\in [/mm] I$ mit [mm] $f(x)-f(y)=f'(\xi)(x-y)$. [/mm] Daraus folgt [mm] $|f(x)-f(y)|=|f'(\xi)||x-y|\le [/mm] L|x-y|$. Also ist $f$ auf $I$ Lipschitzstetig.
fröhliche Grüße,
Robert
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