f(f^{-1}(C) Teilmenge von C < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f: X [mm] \rightarrow [/mm] Y eine Abbildung
f(A) sei das Bild von A [mm] \subset [/mm] X unter f
[mm] f^{-1}(C) [/mm] sei das Urbild von C [mm] \subset [/mm] Y unter f
z.z. [mm] f(f^{-1}(C) \subset [/mm] C |
Ich kann mir noch nicht einmal vorstellen, warum das gelten sollte bzw. für mich müsste da eigentlich ein = stehen, da f ja eine Abbildung ist.
Außerdem hätte ich so angefangen:
x [mm] \in [/mm] C
[mm] \Leftrightarrow f^{-1}(x) \subset f^{-1}(C)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow [/mm] f( [mm] f^{-1}(x)) \subset f(f^{-1}(C))
[/mm]
Aber ist [mm] f(f^{-1}(C))=C [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Sa 06.11.2010 | | Autor: | fred97 |
f muß keine Umkehrfunktion haben !!
Schau nochmal nach wie $ [mm] f^{-1}(C) [/mm] $ def. ist
FRED
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> f muß keine Umkehrfunktion haben !!
>
> Schau nochmal nach wie [mm]f^{-1}(C)[/mm] def. ist
>
> FRED
Ich weiß, dass f keine Umkehrfunktion haben muss. Deswegen habe ich ja auch "Urbild" gesagt. Die Def. sieht dann so aus:
[mm] f^{-1}(C)=\{x\in X | f(x)\in C\}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 So 07.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] def. durch
f(1)=1 und f(x)=0 für x [mm] \ne [/mm] 1
Betrachte C:= { 3 } und berechne $ [mm] f(f^{-1}(C) [/mm] $
FRED
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> Sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm] def. durch
>
> f(1)=1 und f(x)=0 für x [mm]\ne[/mm] 1
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> Betrachte C:= { 3 } und berechne [mm]f(f^{-1}(C) [/mm]
>
> FRED
Das ist aber doch bloß ein Beispiel und kein Beweis. Solche Beispiele finde ich zuhauf. Da wäre es höchstens noch ganz interessant, ein Beispiel zu finden, wo [mm] f(f^{-1}(C) [/mm] eine echte Teilmenge von C ist.
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> > Sei [mm]f: \IR \to \IR[/mm] def. durch
> >
> > f(1)=1 und f(x)=0 für x [mm]\ne[/mm] 1
> >
> > Betrachte C:= { 3 } und berechne [mm]f(f^{-1}(C)[/mm]
> >
> > FRED
>
> Das ist aber doch bloß ein Beispiel und kein Beweis.
Hallo,
es ist ein Beweis dafür, daß die beiden Mengen nicht gleich sein müssen.
> Solche Beispiele finde ich zuhauf. Da wäre es höchstens
> noch ganz interessant, ein Beispiel zu finden, wo
> [mm]f(f^{-1}(C)[/mm] eine echte Teilmenge von C ist.
???
Jetzt bin ich etwas ratlos: Freds Beispiel ist doch genau solch ein Beispiel, wie Du suchst. Es zeigt, daß die Mengen [mm] f(f^{-1}(C)) [/mm] und C nicht immer gleich sind.
Vielleicht zeigst Du mal, was Du damit getan hast, irgendwas muß gründlich schiefgelaufen sein.
Und der Beweis für die eigentliche Aussage fehlt natürlich noch.
Du mußt hierfür zeigen, daß aus [mm] x\in f(f^{-1}(C)) [/mm] folgt, daß [mm] x\in [/mm] C.
Gruß v. Angela
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Hallo.
Da ich den vollständigen Beweis nicht wirklich finde, würde ich mich gerne selbst daran machen.
Es gelte:
f: X [mm] \to [/mm] Y
A [mm] \subset [/mm] X, B [mm] \subset [/mm] Y
Zu zeigen:
y [mm] \in f(f^{-1}(B)) \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] B
Per Definition:
[mm] f(f^{-1}(B)) \gdw \{f(x): x \in \{x \in X: f(x) \in B\}\}
[/mm]
Aus:
[mm] \{f(x): x \in \{x \in X: f(x) \in B\}\} \Rightarrow \neg \exists [/mm] x [mm] \in f^{-1}(B): [/mm] f(x) [mm] \notin [/mm] B [mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in f^{-1}(B): [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow \forall [/mm] f(x) [mm] \in f(f^{-1}(B)): [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] B
Voraussetzung: [mm] f(f^{-1}(B)) \not= \emptyset
[/mm]
Ist die Beweisführung so in Ordnung?
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 08.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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