f harmonisch Realteil von < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | f in [mm] $\IC$ [/mm] harmonische Funktion [mm] \gdw [/mm] f ist Realteil einer in [mm] $\IC$ [/mm] holomorphen Funktion |
Hallo,
Eindeutigkeit der holomorphen Funktion: Sei h in X holomorph mit $f=Re \ \ h$ , also gelte : $h(x,y)=f(x,y)+iv(x,y)$. Nach CauRieDGL ist dann:
$h'= [mm] f_{x}+iv_{x}= f_{y}-iv_{x}$
[/mm]
damit ist der Realteil der holomorphen Funktion bis auf eine Constante eindeutig. (also nur Realteil einer holomorphen Funktion gegeben)
[mm] $\Leftarrow [/mm] : $ Sei g holomorph mit $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ dann werden die CauRieDGL erfüllt, es gilt also [mm] $u_{x}=v_{y}$ [/mm] und [mm] $u_{y}=-v_{x}$ [/mm] und da g 2 mal stetig differenzierbar ist folgt damit : [mm] $u_{xx}+u_{yy} [/mm] = [mm] v_{xx}-v_{yy} [/mm] = 0$, damit ist die Harmonie gezeigt.
[mm] $\Rightarrow [/mm] :$ Sei f harmonisch vorgegeben. Setze $z := [mm] f_{y}-if_{y}$ [/mm] , dann erfüllt z in X die CauRieDGL wegen Harmonie : [mm] $f_{xx}=-f_{yy}$ [/mm] und [mm] $f_{xy}=f_{yx}$ [/mm] also ist z in X holomorph. Sei nun [mm] i_{0} [/mm] in D ein Punkt, g die Stammfunktion von z :
[mm] $g(i_{0}) [/mm] = [mm] f(i_{0}) [/mm] + [mm] \int_{i_{0}}^{i}z(i)di [/mm] $
und das Integral ist wegen der holomorphie ein zusammenhängendes Gebiet. Nach dem Cauchyschen Satz ist das Integral also wegunabhängig. g ist also holomorph und es gilt: $g'= z = [mm] f_{x}- if_{y}$. [/mm] Sei nun [mm] $f^{Re} [/mm] = Re\ \ g $. Mit der CauRieDGL folgt : $g' = [mm] f^{Re}_{x}- if^{Re}_{y}$. [/mm] Da f und [mm] f^{Re}in $i_{0}$ [/mm] gleich sind, müssen sie überall gleich sein.
Ist damit alles richtig gezeigt?
Danke für jegliche Hilfestellung.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Mo 03.10.2011 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
>
> [mm]\Leftarrow : [/mm] Sei g holomorph mit [mm]f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)[/mm]
> dann werden die CauRieDGL erfüllt, es gilt also
> [mm]u_{x}=v_{y}[/mm] und [mm]u_{y}=-v_{x}[/mm] und da g 2 mal stetig
> differenzierbar ist folgt damit : [mm]u_{xx}+u_{yy} = v_{xx}-v_{yy} = 0[/mm],
> damit ist die Harmonie gezeigt.
Wieso folgen die beiden Gleichheitszeichen?
Aus den CRDGL folgt doch zunächst nur
[mm] $u_{xx} [/mm] + [mm] u_{yy}=v_{yx}-v_{xy}$.
[/mm]
zu b: Hier mußt Du doch einfach eine Funktion [mm] $\,g(z)=f(x+iy)+iv(x,y)$, [/mm] d.h. $v$, so zusammenbasteln, daß die CRDGLs gelten und $v$ stetig differenzierbar ist.
viel Erfolg,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Mo 03.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Wolfgang,
> wieso folgt Gleichheit
weil die Ableitung einer holomorphen Funktion wieder holomorph ist, das dürfen wir benutzen denke ich!
> b
das war auch mein Plan!
> Grüsse Wolfgang
Vielen Dank!!!
Gruss
kushkush
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