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f holom.+Bed. --> f konstant: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:05 So 18.07.2010
Autor: steppenhahn

Aufgabe
Sei c > 0, [mm] $f:\IC \textbackslash \IZ\to \IC$ [/mm] holomorph mit [mm] $|f(z)|\ge [/mm] c$ für alle [mm] $z\in\IC\textbackslash\IZ$. [/mm] Zeige: f ist konstant.

2. Sei [mm] f:\IC\to\IC [/mm] holomorph, und auf [mm] \IC\textbackslash\IR [/mm] beschränkt. Folgt daraus, dass f konstant ist?

Hallo!

Ich wollte mich an obiger Aufgabe versuchen, scheitere aber im Moment.

Ich nehme an, f wäre nicht konstant. Es ist [mm] \IC\textbackslash\IZ [/mm] ist ein Gebiet. Also muss [mm] f(\IC\textbackslash \IZ) [/mm] ein Gebiet sein (Satz der Gebietstreue).

Außerdem kann ich mit dem Minimumprinzip folgern, dass f sein Betragsminimum nicht im Inneren von [mm] \IC\textbackslash\IZ [/mm] annimmt, außer es ist Null. Das kann aber nicht sein, da [mm] |f(z)|\ge [/mm] c > 0. Also gilt sogar |f(z)| > c für alle [mm] z\in\IC\textbackslash\IZ [/mm] (sonst wäre ein z mit |f(z)| = c eine Stelle, an der f sein Betragsminimum annimmt).

Was mir noch auffällt: Wegen |f(z)| [mm] \ge [/mm] c ist auch [mm] \frac{1}{f} [/mm] auf ganz [mm] \IC\textbackslash\IZ [/mm] holomorph und es gilt [mm] $\frac{1}{|f|} \le [/mm] c$. Aber Satz von Liouville geht ja nicht.
Kann ich vielleicht so argumentieren, dass 1/|f| in [mm] \IZ [/mm] nicht größer als c werden kann und somit 1/f dort höchstens hebbare Singularitäten hat?

Würde das dann auch bei 2. so funktionieren?


Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan

        
Bezug
f holom.+Bed. --> f konstant: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:51 Mo 19.07.2010
Autor: fred97


> Sei c > 0, [mm]f:\IC \textbackslash \IZ\to \IC[/mm] holomorph mit
> [mm]|f(z)|\ge c[/mm] für alle [mm]z\in\IC\textbackslash\IZ[/mm]. Zeige: f
> ist konstant.
>  
> 2. Sei [mm]f:\IC\to\IC[/mm] holomorph, und auf [mm]\IC\textbackslash\IR[/mm]
> beschränkt. Folgt daraus, dass f konstant ist?
>  
> Hallo!
>  
> Ich wollte mich an obiger Aufgabe versuchen, scheitere aber
> im Moment.
>  
> Ich nehme an, f wäre nicht konstant. Es ist
> [mm]\IC\textbackslash\IZ[/mm] ist ein Gebiet. Also muss
> [mm]f(\IC\textbackslash \IZ)[/mm] ein Gebiet sein (Satz der
> Gebietstreue).
>  
> Außerdem kann ich mit dem Minimumprinzip folgern, dass f
> sein Betragsminimum nicht im Inneren von
> [mm]\IC\textbackslash\IZ[/mm] annimmt, außer es ist Null. Das kann
> aber nicht sein, da [mm]|f(z)|\ge[/mm] c > 0. Also gilt sogar |f(z)|
> > c für alle [mm]z\in\IC\textbackslash\IZ[/mm] (sonst wäre ein z mit
> |f(z)| = c eine Stelle, an der f sein Betragsminimum
> annimmt).
>  
> Was mir noch auffällt: Wegen |f(z)| [mm]\ge[/mm] c ist auch
> [mm]\frac{1}{f}[/mm] auf ganz [mm]\IC\textbackslash\IZ[/mm] holomorph und es
> gilt [mm]\frac{1}{|f|} \le c[/mm].

Nicht ganz: es ist  [mm]\frac{1}{|f|} \le 1/c[/mm].


> Aber Satz von Liouville geht ja
> nicht.


Aber bald !


>  Kann ich vielleicht so argumentieren, dass 1/|f| in [mm]\IZ[/mm]
> nicht größer als c werden kann und somit 1/f dort
> höchstens hebbare Singularitäten hat?


Genau ! In jedem [mm] z_0 \in \IZ [/mm] hat 1/f eine hebbare Singularität.  1/f kann also zu einer ganzen Funktion g holomorph fortgesetzt werden, für die gilt:  $|g| [mm] \le [/mm] 1/c$ auf [mm] \IC [/mm]

Jetzt Liouville !

>  
> Würde das dann auch bei 2. so funktionieren?

Nein. Es gibt ein c>0 mit $|f|  [mm] \le [/mm] c$ auf $ [mm] \IC\textbackslash\IR [/mm] $

Jetzt genügt ein Stetigkeitsargument, um zu zeigen: $|f|  [mm] \le [/mm] c$ auf [mm] \IR [/mm]

Jetzt Liouville.

FRED



>  
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
>  Grüße,
>  Stefan


Bezug
                
Bezug
f holom.+Bed. --> f konstant: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:54 Do 22.07.2010
Autor: steppenhahn

Hallo Fred,

danke für deine Antwort!
Habe es damit hinbekommen.

Grüße,
Stefan

Bezug
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