f holomoprh -> injektiv < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 Fr 19.05.2017 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | | Sei G ein konvexes Gebiet und [mm] f:G\to\IC [/mm] holomorph (und f' stetig) mit |f'(z)-1|<1 für alle [mm] z\in [/mm] G. Zeige, dass f injektiv ist. |
Guten Morgen, ich bin mir nicht sicher ob ich die obige Aufgabe so lösen kann. Es wäre nett wenn Ihr mir ein paar Rückmeldungen, Tipps oder Korrekturen geben könntet. DANKE schonmal vorab!
Meine Idee:
G ist ein konvexes Gebiet, d.h. mit [mm] a,b\inG [/mm] liegt auch die Spur der Verbindungsstrecke [a,b] in G.
Angenommen, f sei nicht injektiv, dann gibt es zwei Punkte a und b mit f(a)=f(b). Da G aber konvex liegt die Verbindungsstrecke [a,b] in G.
Definiere nun g(t):=(1-t)a+tb. Das Bild von g unter [0,1] parametrisiert [a,b].
Betrachten wir nun h(t):=Re f(g(t)):
h ist diff'bar, da g holomoph ist und f holomorph nach Voraussetzung. Somit ist auch [mm] f\circ [/mm] g holomorph und somit der Realteil von h harmonisch, also vorallem reell diff'bar Weiter gilt: h(0)=h(1).
Jezt muss ich doch eigentlich nur noch zeigen, dass [mm] h'(t)\not=0 [/mm] ist denn dann könnte ich meine Annahme mit dem Satz von Rolle zum Widerspruch führen und hab gezeig, dass f injektiv sein muss, oder??
Für Tipps und Lösungshinweise an dieser Stelle wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße
Schobbi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Fr 19.05.2017 | | Autor: | fred97 |
> Sei G ein konvexes Gebiet und [mm]f:G\to\IC[/mm] holomorph (und f'
> stetig) mit |f'(z)-1|<1 für alle [mm]z\in[/mm] G. Zeige, dass f
> injektiv ist.
> Guten Morgen, ich bin mir nicht sicher ob ich die obige
> Aufgabe so lösen kann. Es wäre nett wenn Ihr mir ein paar
> Rückmeldungen, Tipps oder Korrekturen geben könntet.
> DANKE schonmal vorab!
>
> Meine Idee:
> G ist ein konvexes Gebiet, d.h. mit [mm]a,b\inG[/mm] liegt auch die
> Spur der Verbindungsstrecke [a,b] in G.
>
> Angenommen, f sei nicht injektiv, dann gibt es zwei Punkte
> a und b mit f(a)=f(b). Da G aber konvex liegt die
> Verbindungsstrecke [a,b] in G.
>
> Definiere nun g(t):=(1-t)a+tb. Das Bild von g unter [0,1]
> parametrisiert [a,b].
>
> Betrachten wir nun h(t):=Re f(g(t)):
> h ist diff'bar, da g holomoph ist und f holomorph nach
> Voraussetzung. Somit ist auch [mm]f\circ[/mm] g holomorph und somit
> der Realteil von h harmonisch, also vorallem reell diff'bar
> Weiter gilt: h(0)=h(1).
>
> Jezt muss ich doch eigentlich nur noch zeigen, dass
> [mm]h'(t)\not=0[/mm] ist denn dann könnte ich meine Annahme mit dem
> Satz von Rolle zum Widerspruch führen und hab gezeig, dass
> f injektiv sein muss, oder??
>
> Für Tipps und Lösungshinweise an dieser Stelle wäre ich
> sehr dankbar.
> Viele Grüße
>
> Schobbi
Ich würde das so machen:
Zeige, dass $ Re(f'(z))>0$ ist für jedes $ z [mm] \in [/mm] G$:
für $z [mm] \in [/mm] G$ sei $u(z):=Re(f'(z))$ .
Wegen |f'(z)-1|<1 für alle $ [mm] z\in [/mm] $ G haben wir
$|u(z)-1| [mm] \le [/mm] |f'(z)-1|<1$. Es folgt $u(z)-1>-1$, also $u(z)>0$.
Nun seien $a,b [mm] \in [/mm] G$, a [mm] \ne [/mm] b und g(t):=(1-t)a+tb für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1.
Dann:
[mm] $f(b)-f(a)=\int_{g}f'(z) dz=\int_0^1 f'(g(t))(b-a)dt=(b-a)\int_0^1Re(f'(g(t))dt+i(b-a)\int_0^1Im(f'(g(t))dt$
[/mm]
Da der erste Summand rechts [mm] \ne [/mm] 0 ist, ist f(b) [mm] \ne [/mm] f(a).
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Das ist etwas umständlich.
Einfacher ist: $|b-a| = [mm] \left|\int_{[a,b]} (1-f'(z))dz\right| \leq [/mm] ...$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Fr 19.05.2017 | | Autor: | fred97 |
> Das ist etwas umständlich.
>
> Einfacher ist: [mm]|b-a| = \left|\int_{[a,b]} (1-f'(z))dz\right| \leq ...[/mm]
O.K. , das ist einfacher. Aber mein Beweis zeigt, dass allgemeiner gilt:
Satz: Sei G ein konvexes Gebiet und $ [mm] f:G\to\IC [/mm] $ holomorph mit Re(f(z))>0 für alle $ [mm] z\in [/mm] $ G. Dann ist f injektiv.
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