matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionalanalysisf holomoprh -> injektiv
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Functional Analysis" - f holomoprh -> injektiv
f holomoprh -> injektiv < Functional Analysis < Uni-Calculus < University < Maths <
View: [ threaded ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials

f holomoprh -> injektiv: Aufgabe
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:46 Fr 19/05/2017
Author: Schobbi

Aufgabe
Sei G ein konvexes Gebiet und [mm] f:G\to\IC [/mm] holomorph (und f' stetig) mit |f'(z)-1|<1 für alle [mm] z\in [/mm] G. Zeige, dass f injektiv ist.

Guten Morgen, ich bin mir nicht sicher ob ich die obige Aufgabe so lösen kann. Es wäre nett wenn Ihr mir ein paar Rückmeldungen, Tipps oder Korrekturen geben könntet. DANKE schonmal vorab!

Meine Idee:
G ist ein konvexes Gebiet, d.h. mit [mm] a,b\inG [/mm] liegt auch die Spur der Verbindungsstrecke [a,b] in G.

Angenommen, f sei nicht injektiv, dann gibt es zwei Punkte a und b mit f(a)=f(b). Da G aber konvex liegt die Verbindungsstrecke [a,b] in G.

Definiere nun g(t):=(1-t)a+tb. Das Bild von g unter [0,1] parametrisiert [a,b].

Betrachten wir nun h(t):=Re f(g(t)):
h ist diff'bar, da g holomoph ist und f holomorph nach Voraussetzung. Somit ist auch [mm] f\circ [/mm] g holomorph und somit der Realteil von h harmonisch, also vorallem reell diff'bar Weiter gilt: h(0)=h(1).

Jezt muss ich doch eigentlich nur noch zeigen, dass [mm] h'(t)\not=0 [/mm] ist denn dann könnte ich meine Annahme mit dem Satz von Rolle zum Widerspruch führen und hab gezeig, dass f injektiv sein muss, oder??

Für Tipps und Lösungshinweise an dieser Stelle wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße

Schobbi

        
Bezug
f holomoprh -> injektiv: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:03 Fr 19/05/2017
Author: fred97


> Sei G ein konvexes Gebiet und [mm]f:G\to\IC[/mm] holomorph (und f'
> stetig) mit |f'(z)-1|<1 für alle [mm]z\in[/mm] G. Zeige, dass f
> injektiv ist.
>  Guten Morgen, ich bin mir nicht sicher ob ich die obige
> Aufgabe so lösen kann. Es wäre nett wenn Ihr mir ein paar
> Rückmeldungen, Tipps oder Korrekturen geben könntet.
> DANKE schonmal vorab!
>  
> Meine Idee:
>  G ist ein konvexes Gebiet, d.h. mit [mm]a,b\inG[/mm] liegt auch die
> Spur der Verbindungsstrecke [a,b] in G.
>  
> Angenommen, f sei nicht injektiv, dann gibt es zwei Punkte
> a und b mit f(a)=f(b). Da G aber konvex liegt die
> Verbindungsstrecke [a,b] in G.
>  
> Definiere nun g(t):=(1-t)a+tb. Das Bild von g unter [0,1]
> parametrisiert [a,b].
>  
> Betrachten wir nun h(t):=Re f(g(t)):
>  h ist diff'bar, da g holomoph ist und f holomorph nach
> Voraussetzung. Somit ist auch [mm]f\circ[/mm] g holomorph und somit
> der Realteil von h harmonisch, also vorallem reell diff'bar
> Weiter gilt: h(0)=h(1).
>  
> Jezt muss ich doch eigentlich nur noch zeigen, dass
> [mm]h'(t)\not=0[/mm] ist denn dann könnte ich meine Annahme mit dem
> Satz von Rolle zum Widerspruch führen und hab gezeig, dass
> f injektiv sein muss, oder??





>  
> Für Tipps und Lösungshinweise an dieser Stelle wäre ich
> sehr dankbar.
>  Viele Grüße
>
> Schobbi


Ich würde das so machen:

Zeige, dass $ Re(f'(z))>0$ ist für jedes $ z [mm] \in [/mm] G$:

für $z [mm] \in [/mm] G$ sei $u(z):=Re(f'(z))$ .

Wegen |f'(z)-1|<1 für alle $ [mm] z\in [/mm] $ G haben wir

$|u(z)-1| [mm] \le [/mm] |f'(z)-1|<1$. Es folgt $u(z)-1>-1$, also $u(z)>0$.

Nun seien $a,b [mm] \in [/mm] G$, a [mm] \ne [/mm] b  und g(t):=(1-t)a+tb für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1.

Dann:

[mm] $f(b)-f(a)=\int_{g}f'(z) dz=\int_0^1 f'(g(t))(b-a)dt=(b-a)\int_0^1Re(f'(g(t))dt+i(b-a)\int_0^1Im(f'(g(t))dt$ [/mm]

Da der erste Summand rechts [mm] \ne [/mm] 0 ist, ist f(b) [mm] \ne [/mm] f(a).


Bezug
        
Bezug
f holomoprh -> injektiv: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:06 Fr 19/05/2017
Author: Kalkutta

Das ist etwas umständlich.

Einfacher ist: $|b-a| = [mm] \left|\int_{[a,b]} (1-f'(z))dz\right| \leq [/mm] ...$

Bezug
                
Bezug
f holomoprh -> injektiv: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 12:39 Fr 19/05/2017
Author: fred97


> Das ist etwas umständlich.
>  
> Einfacher ist: [mm]|b-a| = \left|\int_{[a,b]} (1-f'(z))dz\right| \leq ...[/mm]

O.K. , das ist einfacher. Aber mein Beweis zeigt, dass allgemeiner gilt:

Satz: Sei G ein konvexes Gebiet und $ [mm] f:G\to\IC [/mm] $ holomorph mit Re(f(z))>0 für alle $ [mm] z\in [/mm] $ G. Dann ist f injektiv.

Bezug
View: [ threaded ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials


Alle Foren
Status vor 1h 06m 4. chrisno
UAnaR1FunkInt/Bogenlänge einer Asteroide
Status vor 1h 51m 8. matux MR Agent
DiffGlGew/Loesung DGL
Status vor 4h 12m 1. katze44
UDiskrMath/Mengen und partielle Ordnungen
Status vor 5h 51m 2. matux MR Agent
ZahlTheo/multivariante Polynome Nullste
Status vor 1d 4h 51m 2. matux MR Agent
UWTheo/stationär/ergodisch
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]