matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionalanalysisf in Lp
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Funktionalanalysis" - f in Lp
f in Lp < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

f in Lp: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:42 So 12.11.2017
Autor: sanadros

Aufgabe
(i) Für welche \alpha \in \IR und 1 \le p \le \infty ist f : x \mapsto x^{\alpha} in
L_{p}(0, 1)?
(ii) Sei [mm] \Omega [/mm] beschränkt. Zeigen Sie, dass für f \in L_{p}(\Omega ) auch f \in L_{q}(\Omega ), q \le p gilt.
Benutzen Sie hierzu die Hölder Ungleichung

\int_{\Omega} |fg| \mathrm dx \leq \left(\int_{\Omega} |f|^p \mathrm dx \right)^{\tfrac 1p}\cdot \left(\int_{\Omega} |g|^q \mathrm dx \right)^{\tfrac 1q} für <mm>[mm] \frac{1}{p} [/mm] + [mm] \frac{1}{q} [/mm] = 1

Bemerkung: Für p = q = 2 erhält man wieder die Cauchy-Schwarz Ungleichung.



OK Im Teil (i) ist mir intuitiv klar dass für jedes \alpha \in \IR_{+} das Integral höchstens 1 werden kann, aber wie kann man das in einen Beweis giessen?

Bei zwei kann man einfach f = g setzen und erhält dann die Hölder Ungleichung einfach mit   ||ff||_{1} \le ||f||_{p}||f||_{q}. Reicht das als Beweis? Bzw ist nich sowieso L_{q}\subseteq L_{p}?

        
Bezug
f in Lp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 So 12.11.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> OK Im Teil (i) ist mir intuitiv klar dass für jedes \alpha \in \IR_{+} das Integral höchstens 1 werden kann, aber wie kann man das in einen Beweis giessen?

Es soll aber [mm] $\alpha \in \IR$ [/mm] betrachtet werden.
Die solltest du also gesondert betrachten.

Für [mm] $\alpha [/mm] in [mm] \IR_+$ [/mm] kannst du doch einfach abschätzen: Es gilt [mm] $x^\alpha \le 1^\alpha [/mm] = 1$ und dann einfach das Integral nach oben abschätzen.

> Bei zwei kann man einfach f = g setzen und erhält dann die Hölder Ungleichung einfach mit  ||ff||_{1} \le ||f||_{p}||f||_{q}.

Kann man so machen.

> Reicht das als Beweis?

Nö. Damit hast du doch nur gezeigt, dass [mm] $||f||_{2}^2 \le ||f||_{p}||f||_{q}$ [/mm]
Was bringt dir das? Nix, da du nichts über [mm] $||f||_{q}$ [/mm] weißt.
Theoretisch könnte da also stehen [mm] $||f||_{2}^2 \le \infty$ [/mm] was ziemlich nichtssagend ist…

> Bzw ist nich sowieso L_{q}\subseteq L_{p}?

Was ist denn "sowieso"?
Und das ist eine ziemlich starke Behauptung, die du sicherlich beweisen kannst… oder auch nicht.
Beachte: Es gilt [mm] $q\le [/mm] p$ also bspw. $q=1$ und $p=2$.
Du behauptest jetzt also, dass "sowieso" gilt [mm] $L_1 \subseteq L_2$ [/mm]

Wenn wir das jetzt mal stochastisch betrachten, behauptest du also, dass jede Zufallsvariable, die einen Erwartungswert hat, auch eine Varianz besitzt.
Was wohl die von dir ausgegrenze []Cauchy-Verteilung dazu sagt.

Aber zurück zur Aufgabe: Es ist zu zeigen: Ist $f [mm] \in L^p$ [/mm] und [mm] \Omega [/mm] beschränkt, so gilt [mm] $f\in L^q$ [/mm] für [mm] $q\le [/mm] p$ (also eigentlich die andere Inklusion!).

Wir wollen also eine Aussage über [mm] f^q [/mm] treffen, wende also die Hölderungleichung mal auf [mm] $\tilde{f} [/mm] = [mm] f^q$ [/mm] und [mm] $\tilde{g} \equiv [/mm] 1$ an, für [mm] $\tilde{p} [/mm] = [mm] \frac{p}{q}$ [/mm]
Da du für die Höldergleichung und die Aufgabe die selben Bezeichnungen gewählt hast, hab ich die Hölder-Variablen mal getildet.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
f in Lp: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:00 Mo 13.11.2017
Autor: sanadros

OK thx hat so weit geholfen.> Hiho,


Bezug
        
Bezug
f in Lp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:30 Mo 13.11.2017
Autor: fred97

Zu (ii) hat Dir Gono schon das Wesentliche gesagt.

Zu (i): Gono hat Dir schon gesagt, dass der Fall $ [mm] \alpha \ge [/mm] 0$ klar ist.

Sei also  [mm] \alpha<0. [/mm] Ich behandle hier den Fall p < [mm] \infty. [/mm] (Den Fall p= [mm] \infty [/mm] überlasse ich Dir). Mit b=- [mm] \alpha [/mm] ist b>0 und [mm] |f|^p=\frac{1}{x^{bp}} [/mm]

Damit haben wir:

f [mm] \in L_{p}(0, [/mm] 1)  [mm] \gdw [/mm] das uneigentliche Riemannintegral  [mm] \integral_{0}^{1}{\frac{1}{x^{bp}} dx} [/mm] ist konvergent [mm] \gdw [/mm] bp<1.



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]