matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Komplexe Analysisf konstant
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - f konstant
f konstant < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

f konstant: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:07 Do 16.05.2013
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Sei f eine ganze Funktion. Beweisen Sie:
Seien w und w' komplexe Zahlen, die über [mm] \IR [/mm] linear unabhängig sind.
Gilt f(z+w)=f(z)=f(z+w') für alle z [mm] \in \IC [/mm]
dann ist f konstant.

Hallo!
Erstmal zur Klärung der Begrifflichkeiten:
Wenn w und w' über [mm] \IR [/mm] l.u. sein sollen, heißt das, dass es kein r [mm] \in \IR [/mm] gibt, sodass w=r*w' gilt, oder?

Dann haben wir damit angefangen, dass man dann jedes z [mm] \in \IC [/mm] so darstellen kann:
z = u w + v w' mit u,v [mm] \in \IR [/mm]

Aber was machen wir dann?
Wir wollen ja darauf hinaus, dass f konstant ist, dh. man könnte zeigen, dass die Ableitung die Nullfunktion ist. Oder?

Könnte mir da jemand helfen?
Grüßle, Lily

        
Bezug
f konstant: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:39 Do 16.05.2013
Autor: fred97


> Sei f eine ganze Funktion. Beweisen Sie:
>  Seien w und w' komplexe Zahlen, die über [mm]\IR[/mm] linear
> unabhängig sind.
>  Gilt f(z+w)=f(z)=f(z+w') für alle z [mm]\in \IC[/mm]
>  dann ist f
> konstant.
>  Hallo!
>  Erstmal zur Klärung der Begrifflichkeiten:
>  Wenn w und w' über [mm]\IR[/mm] l.u. sein sollen, heißt das, dass
> es kein r [mm]\in \IR[/mm] gibt, sodass w=r*w' gilt, oder?

Ja, und natürlich auch $w [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \ne [/mm] w'$


>  
> Dann haben wir damit angefangen, dass man dann jedes z [mm]\in \IC[/mm]
> so darstellen kann:
>  z = u w + v w' mit u,v [mm]\in \IR[/mm]
>  
> Aber was machen wir dann?
>  Wir wollen ja darauf hinaus, dass f konstant ist, dh. man
> könnte zeigen, dass die Ableitung die Nullfunktion ist.

Wir setzen:

      [mm] $P:=\{ \mu w+\lambda w': 0 \le \mu \le 1 \quad und \quad 0 \le \lambda \le 1\}$ [/mm]

1. Warum hab ich diese Menge wohl P getauft ?

2. Zeige: f ist auf P beschränkt.

3. Zeige: [mm] $f(P)=f(\IC)$ [/mm]

4. Aus 2. und 3. und aus dem Satz von Liouville folgt dann, dass f auf [mm] \IC [/mm] konstant ist.

FRED


> Oder?
>  
> Könnte mir da jemand helfen?
>  Grüßle, Lily


Bezug
                
Bezug
f konstant: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Do 16.05.2013
Autor: Mathe-Lily


>  >  Wir wollen ja darauf hinaus, dass f konstant ist, dh.
> man
> > könnte zeigen, dass die Ableitung die Nullfunktion ist.
>
> Wir setzen:
>
> [mm]P:=\{ \mu w+\lambda w': 0 \le \mu \le 1 \quad und \quad 0 \le \lambda \le 1\}[/mm]
>  
> 1. Warum hab ich diese Menge wohl P getauft ?

Es ist ein Parallelogramm. Ich habe damit einen Beweis gefunden, aber ich verstehe ihn nicht so richtig.

>  
> 2. Zeige: f ist auf P beschränkt.

Hier sagt der Beweis:
Dann ist f als stetige Funktion auf der kompakten Menge P beschränkt.

f ist stetig, weil sie ganz ist, oder?

>  
> 3. Zeige: [mm]f(P)=f(\IC)[/mm]

Im Beweis geht es folgender Maßen weiter:
z = [mm] \mu [/mm] w + [mm] \lambda [/mm] w' mit [mm] \mu [/mm] , [mm] \lambda \in \IR [/mm]
Mit | [mm] \mu [/mm] | = [mm] \gamma [/mm] , | [mm] \lambda [/mm] | = [mm] \alpha [/mm] gilt:
z' = ( [mm] \mu [/mm] - [mm] \gamma [/mm] ) w + [mm] (\lambda [/mm] - [mm] \alpha [/mm] ) w' [mm] \in [/mm] P

Aber da [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] nur positiv sind, ist doch bspw. | [mm] \mu [/mm] | = [mm] \mu [/mm] und damit sind die Klammern immer = 0
Oder übersehe ich hier was?

>  
> 4. Aus 2. und 3. und aus dem Satz von Liouville folgt dann,
> dass f auf [mm]\IC[/mm] konstant ist.

Ja, genau deswegen wollte ich ja dahin, dass f konstant ist :-)


Bezug
                        
Bezug
f konstant: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Do 16.05.2013
Autor: fred97


> >  >  Wir wollen ja darauf hinaus, dass f konstant ist, dh.

> > man
> > > könnte zeigen, dass die Ableitung die Nullfunktion ist.
> >
> > Wir setzen:
> >
> > [mm]P:=\{ \mu w+\lambda w': 0 \le \mu \le 1 \quad und \quad 0 \le \lambda \le 1\}[/mm]
>  
> >  

> > 1. Warum hab ich diese Menge wohl P getauft ?
>  Es ist ein Parallelogramm. Ich habe damit einen Beweis
> gefunden, aber ich verstehe ihn nicht so richtig.
>  >  
> > 2. Zeige: f ist auf P beschränkt.
>  Hier sagt der Beweis:
> Dann ist f als stetige Funktion auf der kompakten Menge P
> beschränkt.
>  
> f ist stetig, weil sie ganz ist, oder?

Ja


>  
> >  

> > 3. Zeige: [mm]f(P)=f(\IC)[/mm]
>  Im Beweis geht es folgender Maßen weiter:
>  z = [mm]\mu[/mm] w + [mm]\lambda[/mm] w' mit [mm]\mu[/mm] , [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>  Mit |
> [mm]\mu[/mm] | = [mm]\gamma[/mm] , | [mm]\lambda[/mm] | = [mm]\alpha[/mm] gilt:
>  z' = ( [mm]\mu[/mm] - [mm]\gamma[/mm] ) w + [mm](\lambda[/mm] - [mm]\alpha[/mm] ) w' [mm]\in[/mm] P
>  
> Aber da [mm]\mu[/mm] und [mm]\lambda[/mm] nur positiv sind, ist doch bspw. |
> [mm]\mu[/mm] | = [mm]\mu[/mm] und damit sind die Klammern immer = 0
>  Oder übersehe ich hier was?

Wieso sollten [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] positiv sein ??

In

   " z' = ( [mm]\mu[/mm] - [mm]\gamma[/mm] ) w + [mm](\lambda[/mm] - [mm]\alpha[/mm] ) w' [mm]\in[/mm] "

haben [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] eine andere Bedeutung, als ich sie füe die Def. von P verwendet habe

FRED

>  
> >  

> > 4. Aus 2. und 3. und aus dem Satz von Liouville folgt dann,
> > dass f auf [mm]\IC[/mm] konstant ist.
>  
> Ja, genau deswegen wollte ich ja dahin, dass f konstant ist
> :-)
>  


Bezug
                                
Bezug
f konstant: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:26 Do 16.05.2013
Autor: Mathe-Lily

ok, danke, ich denke ich hab es jetzt kapiert :-)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]