f stetig in a < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f : [-2,4[ [mm] \rightarrow \IR [/mm] definiert durch
f(x) := [mm] \begin{cases} x^2 - 7x + 3 & \mbox{für } -2 \le x < 0 \\ 1 & \mbox{für } x = 0 \\ \bruch{x^2 - 12}{x-4} & \mbox{für} 0 < x < 4 \end{cases}
[/mm]
Berechnen Sie die Menge A := {a [mm] \in [/mm] [-2,4[ | f stetig in a}. |
Hallo,
irgendwie habe ich gerade ein Brett vor dem Kopf.
Ich weiß nicht so recht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll - "die Menge berechnen".
Kann mir mal jemand eine Ansatzhilfe geben?
Vielen Dank!
Anna
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Hi,
wenn du dir die Funktionen mal aufzeichnest, kann man erkennen,
dass die stückweise definierte Funktion ausschließlich im Punkt [mm] $x_{1}=0$
[/mm]
nicht stetig ist.
Als könntest du doch die Menge $A$ beschreiben als Vereinigung der zwei
Intervalle, die 0 auschließen.
[mm] $A=[-2;0[\,\cup\,]0;4[$
[/mm]
Grüße, Stefan.
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Hallo Stefan,
danke für Deine Antwort!
Ja, zeichnerisch ist das klar. Aber ich versuche das ganze "rechnerisch"
Nur wie? Mit dem Epsilon-Delta-Kriterium? Oder lieber Folgenkriterium?
Wer kann mir einen Tipp geben? Muss ich für jedes der drei "Bedingungen" einzeln die Stetigkeit nachweisen....?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 So 13.05.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
einen kleinen Tipp habe ich parat. Die von dir genannten Kriterien kann man sicher anwenden. Aber eine Methode, die ich kennengelernt habe, ist Folgende:
Der kritische Punkt ist x=0.
Du kannst also links- wie rechtsseitig prüfen, ob sich die Funktion dem für x=0 festgelegten Funktionswert 1 nähert. Ist dies für beide Seiten der Fall, ist die Funktion stetig.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} f(x)=x^2-7x+3=3\not=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) in 0 linksseitig nicht stetig.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} f(x)=\bruch{x^2 - 12}{x-4}=3\not=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) in 0 rechtsseitig nicht stetig.
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) in 0 nicht stetig.
MfG
barsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:45 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo barsch,
vielen Dank für Deinen Tipp!
Gruß,
Anna
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Hallo,
wie kann man untersuchen, ob f eine stetige Fortsetzung in a = 0 besitzt?
Ich meine, ich weiß, dass eine stetige Fortsetzung lt. Definition "F: D U {a} -> [mm] \IR [/mm] mit F|D{a} = f|D{a}" ist.
Aber mir fehlt auch hier der Ansatz :-(
Danke!
Gruß,
Anna
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> wie kann man untersuchen, ob f eine stetige Fortsetzung in
> a = 0 besitzt?
> Ich meine, ich weiß, dass eine stetige Fortsetzung lt.
> Definition "F: D U {a} -> [mm]\IR[/mm] mit F|D{a} = f|D{a}" ist.
> Aber mir fehlt auch hier der Ansatz :-(
Hallo,
Du hast bei der Definition die Voraussetzungen vergessen, wie z.B. den Definitionsbereich von f und was es mit a auf sich hat.... So etwas gehört mit dazu!
Ich weiß auch nicht, was mit "D{a}" gemeint ist. D \ [mm] \{a\} [/mm] vermutlich...
Egal für den Moment - ich verstehe es trotzdem "irgendwie".
Die Funktion ist f ist an der Stelle a nicht stetig (oder womöglich gar nicht definiert), und die Frage ist nun:
kann ich sie irgendwie so kitten, daß sie zu einer stetigen Funktion wird? Oder - etwas mathematischer: finde ich eine Funktion F, die an allen Stellen des Definitionsbereiches außer an der Stelle a mit f übereinstimmt, die aber an der Stelle a stetig ist?
Es läuft darauf hinaus: hat Deine Funktion an der Stelle a einen Grenzwert?
Wenn ja, definierst Du Deine neue Funktion F so:
[mm] F(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x\not=a \mbox{ } \\ \limes_{x\rightarrow a}f(x), & \mbox{für } x=a \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Bei der Funktion in Deinem Beispiel klappt das, rechne mal den Grenzwert im Punkt 0 aus.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
danke für Deine Antwort!
Hm, irgendwie ist das Brett noch nicht ganz weg.
Also der Grenzwert von f im Punkt a=0 ist doch 1, richtig?
Aber f(x) := 1 für x = 0 ist doch bereits in f definiert.
Hm, müsste nicht eigentlich die stetige Fortsetzung so definiert werden:
F := [mm] \begin{cases} f(x) & \mbox{für } x \not=a \\ 3 & \mbox{für } x = a \end{cases}
[/mm]
? Wo ist mein Denk/Rechenfehler?
Danke,
Anna
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> Hallo Angela,
>
> danke für Deine Antwort!
> Hm, irgendwie ist das Brett noch nicht ganz weg.
> Also der Grenzwert von f im Punkt a=0 ist doch 1,
> richtig?
Falsch!!!!!!!!!!!!
Der Funktionswert an der Stelle 0 ist 1. Also f(0)=1.
Das ist aber nicht der Grenzwert an dieser Stelle. Der ist, wie Du selbst "irgendwie" bemerkt hat, =3.
Bei Deiner Funktion f stimmen Funktionswert und Grenzwert im Punkt 0 eben nicht überein. Sie ist ja auch unstetig an dieser Stelle, wie Du bestimmt schon festgestellt hast (ich habe mir nicht alles durchgelesen.)
>
> Hm, müsste nicht eigentlich die stetige Fortsetzung so
> definiert werden:
> F := [mm]\begin{cases} f(x) & \mbox{für } x \not=a \\ 3 & \mbox{für } x = a \end{cases}[/mm]
a ist natürlich die 0,
und x [mm] \not=a [/mm] mußt Du so schreiben, daß man auch weiß, welche Werte x annehmen darf. Defbereich \ [mm] \{0\}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
> > Also der Grenzwert von f im Punkt a=0 ist doch 1,
> > richtig?
>
> Falsch!!!!!!!!!!!!
>
> Der Funktionswert an der Stelle 0 ist 1. Also f(0)=1.
>
> Das ist aber nicht der Grenzwert an dieser Stelle. Der ist,
> wie Du selbst "irgendwie" bemerkt hat, =3.
Ich kam unten auf die 3, weil ich ja wußte, dass das der linke bzw. rechte Grenzwert von [mm] x^2 [/mm] - 7x +3 bzw. [mm] \bruch{x^2 - 12}{x-4} [/mm] ist. Kann man das so ausrechnen, oder gibt es noch eine andere Möglichkeit, um den Grenzwert an der Stelle 0 zu errechnen??
> Bei Deiner Funktion f stimmen Funktionswert und Grenzwert
> im Punkt 0 eben nicht überein. Sie ist ja auch unstetig an
> dieser Stelle, wie Du bestimmt schon festgestellt hast (ich
> habe mir nicht alles durchgelesen.)
Ja, genau.
Danke,
Gruß
Anna
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> Ich kam unten auf die 3, weil ich ja wußte, dass das der
> linke bzw. rechte Grenzwert von [mm]x^2[/mm] - 7x +3 bzw. [mm]\bruch{x^2 - 12}{x-4}[/mm]
> ist. Kann man das so ausrechnen,
Es ist völlig in Ordnung so.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
danke. Dann habe ich das soweit verstanden/nachvollziehen können.
Aber was ist jetzt, wenn man z.B. untersuchen will, ob f eine stetige Fortsetzung in a = 4 besitzt. 4 gehört ja nun gar nicht mehr zum Definitionsbereich.
Dann ist doch keine stetige Fortsetzung möglich, weil man zwar 4 vielleicht stetig fortsetzen könnte, aber dann immer noch die Unstetigkeit in x=0 bleibt, habe ich das so richtig verstanden?
Gruß,
Anna
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> Aber was ist jetzt, wenn man z.B. untersuchen will, ob f
> eine stetige Fortsetzung in a = 4 besitzt. 4 gehört ja nun
> gar nicht mehr zum Definitionsbereich.
> Dann ist doch keine stetige Fortsetzung möglich, weil man
> zwar 4 vielleicht stetig fortsetzen könnte, aber dann immer
> noch die Unstetigkeit in x=0 bleibt, habe ich das so
> richtig verstanden?
Wenn es darum geht, ob man die Funktion f an der Stelle 4 stetig fortsetzen kann, interessiert nur die Stetigkeit an der Stelle 4.
Ich fürchte, mit Deiner Funktion wirst Du an der Stelle 4 wenig Glück haben.
Insofern erledigt sich Dein Problem sowieso.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
> Wenn es darum geht, ob man die Funktion f an der Stelle 4
> stetig fortsetzen kann, interessiert nur die Stetigkeit an
> der Stelle 4.
>
> Ich fürchte, mit Deiner Funktion wirst Du an der Stelle 4
> wenig Glück haben.
Wie kann man das mathematisch zeigen?
Danke.
Gruß,
Anna
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> > Ich fürchte, mit Deiner Funktion wirst Du an der Stelle 4
> > wenig Glück haben.
>
> Wie kann man das mathematisch zeigen?
Anschaulich-gefühlsmäßig ist's Dir klar? Die Funktion geht ja an der Stelle 4 gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Du könntest einen Widerspruchsbeweis machen.
Nimm an, es gäbe ein b [mm] \in \IR, [/mm] so daß es eine stetige Fortsetzung F an der Stelle 4 mit gibt mit F(4)=b.
Nun zeigst Du, daß das nicht sein kann, entweder mit dem Folgenkriterium oder mit dem [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \vardelta [/mm] - Kriterium.
Folgenkriterium ist einfacher. Nimm die Folge [mm] x_n:=4-\bruch{1}{n}, [/mm] und zeig, daß die Folge der Funktionswerte gegen unendlich geht. Also gibt es so ein b nicht.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
> Du könntest einen Widerspruchsbeweis machen.
>
> Nimm an, es gäbe ein b [mm]\in \IR,[/mm] so daß es eine stetige
> Fortsetzung F an der Stelle 4 mit gibt mit F(4)=b.
> Nun zeigst Du, daß das nicht sein kann, entweder mit dem
> Folgenkriterium oder mit dem [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\vardelta[/mm] -
> Kriterium.
>
> Folgenkriterium ist einfacher. Nimm die Folge
> [mm]x_n:=4-\bruch{1}{n},[/mm] und zeig, daß sie gegen unendlich
Wie kommst Du gerade auf [mm]x_n:=4-\bruch{1}{n},[/mm]?
Gruß,
Anna
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> >
> > Folgenkriterium ist einfacher. Nimm die Folge
> > [mm]x_n:=4-\bruch{1}{n},[/mm] und zeig, daß sie gegen unendlich
>
> Wie kommst Du gerade auf [mm]x_n:=4-\bruch{1}{n},[/mm]?
Hallo,
ich habe eine Folge gesucht, welche gegen 4 konvergiert, und dies war die erste, die mir einfiel.
Was ich da zuerst geschrieben habe, "zeig daß sie gegen unendlich geht", ist natürlich Quark, ich verbessere es gleich. Zeigen muß man, daß [mm] f(x_n) [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] geht.
Was habe ich dann? Eine Folge gefunden, für die die Folge von Funktionswerten nicht gegen b geht. Also ist b kein Grenzwert der Funktion.
Also hat die Funktion keinen Grenzwert, denn b war ja beliebig aus [mm] \IR [/mm] gewählt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Di 29.05.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Angela,
entschuldige das späte Feedback, aber Du hast mir sehr geholfen.
Danke!
Anna
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