f surjektiv <=> rang f = dim W < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 So 10.02.2008 | | Autor: | Uwis |
| Aufgabe | Es seien U, V, W, X Vektorräume endlicher Dimension über einem Körper K und f : V -> W, g : U -> V, h : X -> U
a) f ist genau dann surjektiv, wenn rang f = dim W gilt. |
Hey Leute, ich hab ein Problem mit dem Beweis von oben. Ich weiss, dass die Abbildungsmatrix vollen Zeilenrang hat, wenn die Bedingung gilt, und dass |W| kleiner gleich |V| sein muss, dass die Surjektivität gegeben sein kann.
Nur wie zeig ich die gdw-Beziehung?
Ich meine, der Rang ist doch als Dimension des Bildes definiert, oder hab ich da was falsch verstanden? Und wenn rang f = dim W gilt, ist doch quasi damit gesagt, dass alle Elemente des Bildes eine Zuweisung bekommen, oder?
Könntet Ihr mir nicht einen Tipp geben, ich steck echt fest.
Ciao Uwe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 So 10.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du dim W unabhängige Vektoren in der Abbildungsmatrix A hast, dann hast du ja auch dim W Vektoren, die den Spaltenraum aufspannen.
Der Spaltenraum ist ja genau dein Bildraum deiner Abbildung. Nimm mal an, dass der Spaltenraum ein Teilraum des Raumes ist, in den du abbildest. Was weist du denn dann, wenn der SR(A) ein Teilraum deines Abbildungsraumes ist, und die Dimensionen übereinstimmen?
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 So 10.02.2008 | | Autor: | Uwis |
Na dann sind die nach meinem Verständnis gleich, und d.h. dann, dass alle Elemente des Bildraumes mindestens eine Zuweisung eines Elementes im Urbildraum haben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 So 10.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du weist ja: Der Spaltenraum der darstellenden Matrix ist gleich dem Bildraum deiner Matrix. Und wenn der Bildraum deiner lin. Abbildung (oder auch Homomorphismus) gleich dem Raum ist, in den du Abbildest, dann heißt es doch, dass alle Elemente "getroffen" werden. D.h. zu jedem [mm] y\in [/mm] Abbildungsraum findsest du ein x aus dem "Startraum", so dass f(x)=y.
LG
Kroni
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