f(x-y)=f(x)-f(y) < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Mo 27.05.2013 | | Autor: | BamPi |
| Aufgabe | Die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] sei differenzierbar und genüge für alle [mm] x,y\in\IR [/mm] der Gleichung f(x-y)=f(x)-f(y)
a)Entscheiden Sie ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:
i) f(0)=0
ii) f(-x)=-f(x) für alle [mm] x,y\in\IR
[/mm]
iii) f(x+y)=f(x)+f(y) für alle [mm] x,y\in\IR
[/mm]
iv) f(xy)=f(x)*f(y) für alle [mm] x,y\in\IR
[/mm]
b) Zeigen Sie mit Hilfe des Differenzquotienten, dass f' konstant ist.
c) Verwenden Sie den Mittelwertsatz um zu zeigen, dass eine Konstante [mm] a\in\IR [/mm] existiert mit f(x)=a*x für alle [mm] x\in\IR [/mm] |
Hallo,
leider fehlt mir bei dieser Aufgabe allein schon der Ansatz. Ich verstehe nicht so genau wie ich bei der a) z.B. beweisen soll das f(0)=0.
Ist es einfach in etwa: Wenn f(x-y)=0, und f(x-y)=f(x)-f(y) dann muss auch f(x)-f(y)=0 und somit stimmt die Aussage f(0)=0 ?!
Über einen Ansatz wie ich an diese Aufgabe herangehen könnte wäre ich sehr dankbar.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Mo 27.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] sei differenzierbar und genüge
> für alle [mm]x,y\in\IR[/mm] der Gleichung f(x-y)=f(x)-f(y)
>
> a)Entscheiden Sie ob die folgenden Aussagen wahr oder
> falsch sind:
> i) f(0)=0
> ii) f(-x)=-f(x) für alle [mm]x,y\in\IR[/mm]
> iii) f(x+y)=f(x)+f(y) für alle [mm]x,y\in\IR[/mm]
> iv) f(xy)=f(x)*f(y) für alle [mm]x,y\in\IR[/mm]
>
> b) Zeigen Sie mit Hilfe des Differenzquotienten, dass f'
> konstant ist.
> c) Verwenden Sie den Mittelwertsatz um zu zeigen, dass
> eine Konstante [mm]a\in\IR[/mm] existiert mit f(x)=a*x für alle
> [mm]x\in\IR[/mm]
> Hallo,
>
> leider fehlt mir bei dieser Aufgabe allein schon der
> Ansatz. Ich verstehe nicht so genau wie ich bei der a) z.B.
> beweisen soll das f(0)=0.
>
> Ist es einfach in etwa: Wenn f(x-y)=0, und f(x-y)=f(x)-f(y)
> dann muss auch f(x)-f(y)=0 und somit stimmt die Aussage
> f(0)=0 ?!
Nein. f(0)=f(0-0)=f(0)-f(0)=0..
Zu a ( ii):
f(-y)=f(0-y)=f(0)-f(-y)=-f(-y)
Etc...
FRED
>
> Über einen Ansatz wie ich an diese Aufgabe herangehen
> könnte wäre ich sehr dankbar.
>
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Mo 27.05.2013 | | Autor: | BamPi |
> Nein. f(0)=f(0-0)=f(0)-f(0)=0..
>
> Zu a ( ii):
>
> f(-y)=f(0-y)=f(0)-f(-y)=-f(-y)
>
> Etc...
>
> FRED
Danke,
dann wäre:
i) f(0)=f(0-0)=f(0)-f(0)=0 => wahr
ii) f(-x)=f(-x-0)=-f(x)-f(0)=-f(x) => wahr
iii) f(x+y)=f(x-(-y))=f(x)-(-f(y))=f(x)+f(y) => wahr
nur hänge ich jetzt bei der iv) f(x*y)=f(x)*f(y). Wie soll man dies denn zeigen wenn nur f(x+y)=f(x)+f(y) definiert wurde ?
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Hiho,
die Aufgabe wurde >>>hier<<< bereits ausführlich erörtert.
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Mo 27.05.2013 | | Autor: | BamPi |
Danke für den Hinweis
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