f(x)=ln(lgx)-lg(lnx) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 So 01.08.2004 | | Autor: | El-Nolzo |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Moin! Bin neu hier und versuch´s mal.
Ich habe folgendes Problem:
Berechne die Nullstellen von
f(x)=ln(lgx)-lg(lnx)
Hoffe, es kann mir jemand helfen.
Meine Überlegungen:
ln(lnx/ln10)-ln(lnx)/ln10=0
ln(lnx)-ln(ln10)-ln(lnx)/ln10=0
ln(lnx)[1-ln(ln10)-1/ln10]=0
ln(lnx)=0
lnx=1
x=e
Soll aber nicht stimmen, sondern folgende Lösung wird angegeben:
[mm] x=e^e^[ln(lnx)/(1-1/ln10)]
[/mm]
Ist mir jedoch ein völliges Rätsel, wie x in der Lösung für x vorkommen soll???
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Hallo erstmal.
Deine Rechnung enthält, trotz richtiger Überlegungen, einen Fehler, und zwar von
[mm]\ln{\ln{x}}-\ln{\ln{10}}-\bruch{\ln{\ln{x}}} {\ln{10}}=0[/mm]
auf die nächste Zeile.
Du klammerst da ln(lnx) aus allem anderen aus, was aber nicht ganz geht. Sieh nochmal genau hin.
Ich hab an betreffender Stelle:
[mm]\ln{\ln{x}}-\ln{\ln{10}}-\bruch{\ln{\ln{x}}} {\ln{10}}=0[/mm]
[mm]\ln{\ln{x}}*(1-\bruch{1} {\ln{10}})=\ln{\ln{10}}[/mm]
und damit
[mm]\ln{\ln{x}}=\bruch{\ln{\ln{10}}} {1-\bruch{1} {\ln{10}}}[/mm]
[mm]\ln{x}=e^{\bruch{\ln{\ln{10}}} {1-\bruch{1} {\ln{10}}}}[/mm]
[mm]x=e^{e^{\bruch{\ln{\ln{10}}} {1-\bruch{1} {\ln{10}}}}}[/mm]
und schließlich:
[mm]x=e^{{\ln{10}}^{\bruch{\ln{10}} {\ln{10}-1}}}[/mm]
Damit ist x ungefähr 78.89169413.
Die "Musterlösung" ist damit wohl als Druckfehler zu bewerten.
Ich hoffe, daß ich etwas helfen konnte,
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Mo 02.08.2004 | | Autor: | El-Nolzo |
Hallo Christian!
Habe Deine Korrektur gelesen. Bis zu Deinem vorletzten Lösungsterm bin ich auch schonmal gekommen und war sehr verwundert, daß mir der Lösungsvorschlag etwas anderes vorgaukelte. Deine Lösung ist jedenfalls deutlich plausibler. Dankeschön.
Gruß,
Mecki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Mo 02.08.2004 | | Autor: | Christian |
Hallo Mecki.
Nichts zu danken.
Die Umformung vom vorletzten auf den letzten Term ist auch letztlich nicht so wichtig; bei so nem komplizierten Term (vorher wie nachher) ist der Zahlenwert wohl eh interssanter.
es wird sich wohl bei der Musterlösung um einen Druckfehler handeln, da man nur einmal rechts x gegen 10 tauschen muß, um die richtige Lösung zu erhalten...
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 02.08.2004 | | Autor: | El-Nolzo |
Vielleicht kannste mir nochmal helfen:
r-lim(x->1) [mm] 1/x^{x-1}=e^0=1 [/mm] ist meine Lsg.
vorgeschlagen wird: e als Lsg.
meine Umformung:
[mm]1/x^{x-1}=x^{1-x}=e^{ln(x^{1-x})}=e^{(1-x)lnx}[/mm]
Gruß,
Mecki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Mo 02.08.2004 | | Autor: | Hanno |
H Mecki.
Ich weiß ja nicht, wo du die Lösungsvorschläge herkriegst, aber wenn ich mal x=1.0000001 teste dann kommt er bestechend nah an 1 heran:
>>> pow(1.0000001,1-1.0000001)
0.99999999999999001
Da ich auch keinen Fehler in deiner Umformung sehe ( korrigiere den TeX Code mal bitte, du musst nach dem ^ geschweifte Klammern um den Exponenten setzen, wenn er aus mehr als einem Buchstaben bzw. Befehlen besteht ), scheint mir dein Ergebnis richtig zu sein.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Mo 02.08.2004 | | Autor: | El-Nolzo |
Die Aufgaben entnehme ich einem Mathematikbuch, das ich vor ca. 10 Jahren im Mathematikunterricht verwendet habe bzw. wir verwendet haben. Die Lösungen stammen von den Herausgebern. Bislang dachte ich eigentlich, daß das Buch was kann, aber ich bin mir da nicht mehr so sicher.
Danke für eure Mühen!!!
Gruß,
Mecki!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Mo 02.08.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Mecki,
Deine Umformung
[mm]1/x^{x-1}=x^{1-x}=e^{\ln(x^{1-x})}=e^{(1-x)\ln x}[/mm]
ist richtig. Wegen der Stetigkeit der e-Funktion kannst du den Grenzwert in die e-Funktion reinziehen und erhältst
[mm] $\lim\limits_{x\to 1} 1/x^{x-1} [/mm] = [mm] \exp\left(\lim\limits_{x\to 1} (1-x)\ln x\right)$
[/mm]
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Mo 02.08.2004 | | Autor: | El-Nolzo |
Auch Dir möchte ich für Deine Mühen danken. Ich hatte schon an mir gezweifelt, und das nur, weil die Herausgeber des Buchs, aus dem ich meine Aufgaben beziehe, offensichtlich ihre eigenen Aufgaben nicht verstehen. Glaube ich zumindest mittlerweile. Ihre Lösungen sind auf jeden Fall nicht besonders überzeugend.
Gruß,
Mecki!
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