f(x) eines Graphen berechnen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Shinji |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich verzweifel bei folgender Aufgabe.
Ich habe die Funktion
[mm] f(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
Über diese Funktion weiß ich,
1. dass sie beim Punkt P(0|1) einen Sattelpunkt hat.
2. dass der Flächeninhalt der Fläche, die von der Tangente durch den Sattelpunkt und dem Graphen von f eingeschlossen wird, 5000 beträgt.
Ich soll nun herausfinden, wie die Funktion lautet.
Mit Hilfe des Sattelpunktes bin ich bisher darauf gekommen, dass
1. d=1, weil [mm] f(0)=0^{4}+a*0^{3}+b*0^{2}+c*0+d=1 [/mm] ist.
2. c und b ebenfalls null sein müssen, da sowohl f'(0) als auch f''(0) 0 ergeben muss, damit die bedingung erfüllt ist, dass an der Stelle (0|1) ein Sattelpunkt ist.
Die Gleichung lautet also bis hierhin:
[mm] f(x)=x^{4}+a*x^{3}+1
[/mm]
Wie berechne ich nun das a? Brauch ich dafür überhaupt die obrige Angabe des Flächeninhalts der Fläche zwischen Tangente im Sattelpunkt und Graph von f? Bin für alle Rechenmöglichkeiten offen, wäre aber gut, wenn irgendwas mit Integralen käme.
Danke im voraus,
Shinji
|
|
| |
|
Hallo Alexander.
Dein Ansatz ist doch im Prinzip schon komplett.
Die Tangente im Sattelpunkt ist (trivialerweise) die Gerade y=1.
Die Fläche, die Du berechnen mußt, liegt also unter dieser Gerade und geht bis x=0.
Das Problem ist nun: Wo fängst Du an zu integrieren?
Das ist logscherweise an der Stelle, wo die Gerade y=1 den Graphen nochmal schneidet, und das ist die Stelle x=-a.
So, nun weißt Du, von wo bis wo die Fläche zu berechnen ist und das a mußt Du dann so wählen, daß für die Fläche 5000 rauskommt.
Jetzt müßtest Du ja eigentlich zurechtkommen.
(Mein Ergebnis war a=10, soll aber nix heißen, habs nur kurz überschlagen)
Kannst es ja nochmal probieren und nachfragen, falls was unklar sein sollte.
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Shinji |
Also, wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe, berechne ich a jetzt mit diesem Integral:
[mm] \integral_{0}^{-a} {(x^{4}+a*x^{3}+1) dx} [/mm] = 5000
das die Schnittstelle bei x=-a liegt habe ich auf jeden Fall kapiert. Dafür auf jeden Fall schon mal danke!
Shinji
|
|
|
| |
|
Hallo Shinji!
Du hast es fast richtig gemacht!
In deiner Aufgabe steht:
2. dass der Flächeninhalt der Fläche, die von der Tangente durch den Sattelpunkt und dem Graphen von f eingeschlossen wird, 5000 beträgt.
> [mm]\integral_{0}^{-a} {(x^{4}+a*x^{3}+1) dx}[/mm] = 5000
Hier mußt du also noch die Funktion g(x)=1 abziehen, also:
[mm] \integral_{0}^{-a} {(x^{4}+a*x^{3}+1-1) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{-a} {(x^{4}+a*x^{3}) dx} [/mm] = 5000
Nun kannst du weiterrechnen!
Zum Vergleich: es kommt tatsächlich, wie Christian19 schon sagte, für a=10 heraus!
Liebe Grüße
Ulrike
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Shinji |
Jetzt ist alles klar, vergesse einfach immer, dass ich in manchen Fällen (wie in diesem hier) [mm] \integral_{0}^{-a} [/mm] {(f(x)-g(x)) dx} machen muss. Wenn ich mir das endlich mal merken könnte.
Euch beiden aber erst mal ein herzliches Danke schön. Ihr habt mir da wirklich sehr geholfen.
schönen Abend noch,
Shinji
|
|
|
|
