f(x) > g(x) < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 Mo 26.10.2009 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | | zeige dass ln(x+1) > [mm] \bruch{x}{e-1} [/mm] für 0<x<e-1 und e is die eulersche zahl |
hi zusammen,
meine idee war folgende:
ich zeig einfach dass der flächeninhalt von ln(x+1) > [mm] \bruch{x}{e-1}
[/mm]
damit sollte es doch schon getan sein oder ? meine integrationsgrenzen sind 0 und e-1
vielen dank schonmal im voraus
mfg
meep
|
|
| |
|
Hallo meep,
oops...
Integration und Differentiation sind keine Äquivalenzumformungen, sondern schaffen immer Zusatzbedingungen.
Beispiel 1, Differentiation:
Ist [mm] \a{}x+3>5 [/mm] ?
Differenzieren wir, erhalten wir 1>0 ? Jawoll, das ist wahr.
Und, stimmt es? Welche Zusatzbedingungen wären nötig, um die Aussage zu verifizieren?
Beispiel 2, Integration:
Ist [mm] \sin{x}>-2 [/mm] ?
Integriert ergibt sich [mm] -\cos{x}+C_1>-2x+C_2
[/mm]
Blöd mit den Konstanten - aber Rettung naht: wir betrachten ja nur das Intervall von [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_2, [/mm] also:
[mm] (-\cos{x_2}+C_1)-(-\cos{x_1}+C_1)>(-2x_2+C_2)-(-2x_1+C_2)
[/mm]
und weg sind die Integrationskonstanten:
[mm] \cos{x_1}-\cos{x_2}>2x_1-2_x_2
[/mm]
oder anders gesagt
[mm] \cos{x_1}-2x_1>\cos{x_2}-2x_2
[/mm]
Aha. Die Funktion [mm] c(x)=\cos{x}-2x [/mm] ist also streng monoton steigend. Wirklich?
Lass Dir doch ![[]](/images/popup.gif) hier mal ihren Graph zeichnen...
Was also fehlt hier?
So kommst du also höchstens dann weiter, wenn Du ein paar Zusatzbedingungen einführst und nachweist. Das ist selten gut, aber immerhin manchmal möglich.
Versuch mal ein paar echte Äquivalenzumformungen an [mm] \ln{(x+1)}>\bruch{x}{e-1}.
[/mm]
Wo würde denn gelten [mm] \ln{(x+1)}=\bruch{x}{e-1} [/mm] ? Kannst Du anhand dieser "Nullstellen" (nach Umformulierung der Gleichung auch ohne Anführungszeichen) bestimmen, wo welche Relation gilt? Und siehe da - auf einmal hilft die Differentialrechnung doch weiter...
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:27 Di 27.10.2009 | | Autor: | meep |
hi reverend,
meine idee war es zu zeigen, dass wenn der flächeninhalt der einen funktion (f) größer ist in dem intervall als der flächeninhalt der anderen (g) im selbigen intervall einfach folgt dass f>g in dem bestimmten intervall, bisher hab ich noch keinen gegenbeweis gefunden.
aber ist nun auch egal, wenn es so nicht geht dann muss eine andere methode her, leider gelingt es mir nicht die ungleichung geschickt umzuformen.
grüße
meep
edit: ok vergesst den ersten absatz. die idee ist kompletter schwachsinn, eben ein gegenbsp gefunden.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | ln(x+1) > $ [mm] \bruch{x}{e-1} [/mm] $ für 0<x<e-1 |
Hallo,
betrachte f(x):=ln(x+1) - [mm] \bruch{x}{e-1} [/mm] und zeige, daß diese im fraglichen Intervall >0 ist.
Mach dazu Monotonieüberlegungen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Di 27.10.2009 | | Autor: | meep |
hi,
dann mach ich das doch mal
f(x) = ln(x+1) - [mm] \bruch{x}{(e-1)}
[/mm]
nun ist eine funktion monoton wachsend wenn f'(x) > 0 ist
f'(x) = [mm] \bruch{1}{(x+1)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(e-1)} [/mm]
[mm] \bruch{1}{(x+1)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(e-1)} [/mm] > 0
[mm] \bruch{1}{(x+1)} [/mm] > [mm] \bruch{1}{(e-1)}
[/mm]
e-1 > x+1
e-2 > x
was bringt mir das nun aber ?
|
|
|
| |
|
> hi,
>
> dann mach ich das doch mal
>
Wir betrachten also
> f(x) = ln(x+1) - [mm]\bruch{x}{(e-1)}[/mm]
>
> nun ist eine funktion monoton wachsend wenn f'(x) > 0 ist
>
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{(x+1)}[/mm] - [mm]\bruch{1}{(e-1)}[/mm]
> was bringt mir das nun aber ?
Oh weh.
In der Tat leider nicht ganz so viel, wie ich dachte - ich hatte ich wohl zuvor vertan. Die Funktion ist ja gar nicht monoton...
Wir können sie aber trotzdem gleich gebrauchen, nämlich für des reverends Lösungsvorschlag.
Zwei Nullstellen der Funktion sieht man auf den ersten oder zweiten Blick. Welche?
Nun berechne mal die Extremwerte der Funktion. Und?
Ist der zugehörige Funktionswert größer oder kleiner als 0?
Kann es sein, daß es im Intervall noch einen Funktionswert gibt, der kleiner als 0 ist? Warum nicht?
Gruß v. Angela
|
|
|
|
