f(x,y)=\bruch{xy}{x^2+y^2} < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Fr 01.10.2010 | | Autor: | Pruckcy |
Hallo,
ich bin gerade ein bisschen am üben und bin auf eine Funktion gestoßen die ich auf Stetigkeit untersuchen soll. Generell tue ich mich damit noch ein bisschen schwer.
Daher meine Fragen:
Wie gehe ich am besten an so eine Aufgabe dran?
Das Delta Epsilon Verfahren mag ich nicht so gerne, da mir abschätzen nicht so sehr liegt.
Ist es sinnvoll vielleicht erstmal zu gucken ob sie nicht stetig ist mit dem Folgenkriterium? Wie wähle ich meine Folge? gibt s da einen besonderen Trick?
Fragen über Fragen
also hier meine Funktion:
[mm] f(x,y)=\bruch{xy}{x^2+y^2} [/mm] im Punkt (0,0)
das der Punkt (0,0) ein kritischer Punkt ist ist klar, da sonst der Nenner null werden würde.
ich habe jetzt nun eine Folge mit der ich zeigen kann, dass die Funktion stetig ist.
[mm] \{\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^2}\} [/mm] hier nun meine erste Frage Warum nehme ich beim zweiten Term [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm]
so nun ist der Grenzwert dieser Folge (0,0)
jetzt betrachte ich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^2}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{n^3}}{\bruch{n^2+1}{n^4}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n^2+1}--> [/mm] 0
ist die Funktion jetzt damit stetig oder habe ich irgendwas falsch verstanden?
Liebste Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
du hast erstmal keine Angabe gemacht, wie deine Funktion im Punkt (0,0) definiert ist, bzw OB sie dort überhaupt definiert ist.
Zum Folgenkriterium: Du hast jetzt nun EINE Folge von Funktionswerten zu einer Folge [mm] $(x_n,y_n) \to [/mm] (0,0)$ untersucht. Um festzustellen, ob Stetigkeit vorliegt, müssen aber ALLE Folgen von Funktionswerten mit [mm] $(x_n,y_n) \to [/mm] (0,0)$ gegen den selben Wert konvergieren UND das muss der Funktionswert an der Stelle sein.
Untersuche doch mal die Folge mit [mm] $x_n=y_n$ [/mm] und [mm] $x_n\to [/mm] 0$.
Was fällt dir auf? Was sagt dir das bezüglich der Stetigkeit?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Fr 01.10.2010 | | Autor: | Pruckcy |
ok, vielen dank
ich weiss leider auch nict mehr als da steht. Ist aus einer aufgabensammlung von Prüfungen ohne Lösung...aber ich denke in (0,0) wird der Funktionswert auch 0 sein.
ich bastel mir also eine folge bei der X=Y-->0 gehen:
nehmen wir [mm] \{\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}\}
[/mm]
ich glaube ich habe verstanden worauf du hinaus willst. Das Kriterium das ich benutze ist nur sinnvoll um zu zeigen, dass etwas nicht stetig ist. Weil wenn ich eine Folge finde die gegen 0 geht dessen funktionswert dann aber ungleich null ist, weiss ich das die Funktion nicht stetig ist?!?!
was bei der obigen Folge der Fall ist, weil der funktionswert gegen 1/2 geht ?!?!
aber sieht man sofort ob eine funktion jetzt stetig ist oder nicht? Irgendwie tu ich mich damit sehr schwer
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> ok, vielen dank
> ich weiss leider auch nict mehr als da steht. Ist aus
> einer aufgabensammlung von Prüfungen ohne Lösung...aber
> ich denke in (0,0) wird der Funktionswert auch 0 sein.
Ok.
>
> ich bastel mir also eine folge bei der X=Y-->0 gehen:
>
> nehmen wir [mm]\{\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}\}[/mm]
Naja, das bringt mal nix 
> ich glaube ich habe verstanden worauf du hinaus willst. Das
> Kriterium das ich benutze ist nur sinnvoll um zu zeigen,
> dass etwas nicht stetig ist. Weil wenn ich eine Folge finde
> die gegen 0 geht dessen funktionswert dann aber ungleich
> null ist, weiss ich das die Funktion nicht stetig ist?!
Wenn der Funktionswert 0 sein soll, ja.
Es könnte ja aber auch $f(0) = [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] gegeben sein.
Und bei einigen Funktionen kann man sehr wohl auch für ALLE Folgen zeigen, dass sie gegen den gegebenen Funktionswert konvergieren.
Kommt halt auf die Funktion an.
> was bei der obigen Folge der Fall ist, weil der
> funktionswert gegen 1/2 geht ?!?!
Ja, zusammengenommen haben wir also 2 Folgen, die gegen UNTERSCHIEDLICHE Funktionswerte konvergieren. D.h. die Funktion kann gar nicht mehr stetig sein.
Bei $f(0) = 0$ machts die eine kaputt, bei $f(0) = [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] halt die andere.
> aber sieht man sofort ob eine funktion jetzt stetig ist
> oder nicht? Irgendwie tu ich mich damit sehr schwer
Hm, da hilft nur eins: Übung, Übung, Übung.
MFG,
Gono.
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