f(x,y) = u(x) + v(y) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei f stetig partiell diffbar. Die zweite Ableitung ist (zuerst nach y abgeleitet, dann nach x abgeleitet) = 0 für alle (x,y) [mm] \in [/mm] R hoch 2. Zeigen Sie, dass Funktionen in R existieren, die ebenfalls stetig partiell diffbar sind mit f(x,y) = u(x) + v(y). |
Hallo,
ich sitze schon länger an dieser Aufgabe. Ich habe mir überlegt, dass wenn die zweite Ableitung nach x und dann nach y = 0 ist, gilt das gleiche auch, wenn ich zuerst nach y und dann nach x ableite, da wir eine Funktion haben, die stetig partiell diffbar ist. Nun habe ich mir überlegt, dass dann die erste Ableitung eine Konstante sein muss. Ich würde das ganze gerne mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung beweisen, aber ich weiß lediglich, dass die Funktion ja in etwa so aussehen muss: ax hoch n + bx hoch n. Naja, damit wärs aber schon bewiesen, ich hab kein Plan, wie ich das mathematisch machen könnte... vielleicht kann mir jemand helfen...
|
|
| |
|
Ich bin mir nicht sicher, ob der Formalismus ausreichend ist. Du musst vermutlich noch einige Dinge ergänzen und genauer ausformulieren:
Vor: [mm]\bruch{\partial}{\partial y} \left( \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} \right) = 0[/mm] | Integration nach y
[mm]\gdw \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} = a(x) [/mm] (a(x) muss bzgl. der Variablen y eine Konstante sein, kann aber noch von x abhängen.)
[mm]\gdw \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x} = a(x) [/mm] | Integration nach x
[mm]\gdw f(x,y) = A(x) + b(y) [/mm] (also A(x) als Stammfunktion von a(x) plus eine Konstante in x, die aber wiederum von y abhängen kann)
Umbenennen liefert die Behauptung.
Alternative ist vielleicht ein Widerspruchsbeweis, also so etwa:
Annahme: [mm]f(x,y) = u(x) + v(y) + h(x,y)[/mm] mit h nicht aufteilbar.
Dann zweimal ableiten, wobei die Ableitung vom h eben nicht verschwinden kann und somit zu einem Widerspruch in der zweiten Ableitung führen sollte. Aber da bin ich mir auf der formalen Seite noch weniger sicher als oben.
|
|
|
| |
|
Hallo,
vielen dank schon mal. Der erste Teil sieht mir schlüssiger aus, aber so richtig nachvollziehen kann ich nicht, was du genau nach was integrierst. Könntest du mir das noch ein wenig erläutern?
|
|
|
| |
|
Dann markiere doch deine Frage noch als beantwortet  .
|
|
|
|
