fast sichere Konvergenz < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
gegeben: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] X_{n}(w) [/mm] = 1 , [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] X_{n}(w) [/mm] = 0 für alle w(omega)
Daraus folgt, dass [mm] X_{n} [/mm] damit nicht fast sicher konvergiert.
Warum ist das so?
Schöne Grüße
Igor
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Konvergenz setzt voraus, dass nur ein Grenzwert existiert. Für fast sichere Konvergenz muss also gelten:
P{lim sup [mm] X_{n} [/mm] = lim inf [mm] X_{n}\} [/mm] = 1. Da dies offenbar nicht der Fall ist, gilt auch die fast sichere Konvergenz nicht.
Dass oberer und unterer Grenzwert existieren, sagt nur aus, dass [mm] X_{n} [/mm] beschränkt ist (und zwar nach oben und nach unten).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Igor1 |
Hallo bellybutton,
Danke Dir für die hilfreiche Antwort!
Ich habe noch eine Frage und zwar:
Auf der unten stehenden Seite , in der Aufgabe G19 steht ganz unten diese Ausdrücke von limes superior bzw. inferior.
![[]](/images/popup.gif) Link-Text
Wie kommt man auf sie?
Ich weiß nur, dass wenn die ZV [mm] X_{n} [/mm] stochastisch unabhängig sind, dann kann ich das mit einem bewiesenen Satz herleiten. Jedoch in der Aufgabe gibt es diese Voraussetzung nicht (zumindest keine explizite).
Schöne Grüße
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Igor1 |
sorry, schon gemacht....
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Guck' Dir einfach die Menge [mm] A_{n} [/mm] an:
Man sieht dass [mm] X_{n} [/mm] nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann, denn sei x=2,345 dann ist x abgerundet ja 2, somit die Differenz also kleiner als 1, die Differenz ist 0 falls x eine ganze Zahl ist...
Da die Intervalle [mm] [a_{n-1},a_{n}] [/mm] immer kleiner werden, muss auch die Differenz immer kleiner werden und [mm] X_{n}=1_{A_{n}} [/mm] konvergiert somit stoch. gegen 0.
Der Limes superior ist die obere Schranke, die [mm] X_{n} [/mm] nie überschreitet (also die Differenz kann ja nicht größer als 1 sein), der limes inferior die untere Schranke (die Differenz kann auch nie kleiner als 0 werden).
Sie lassen sich folgendermaßen charakterisieren:
limsup [mm] X_{n} [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] X_{n} [/mm] für unendlich viele n und
liminf [mm] X_{n} [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] X_{n} \quad \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}. [/mm]
Die erste Bedingung heisst, dass [mm] X_{n} [/mm] unendlich oft ganz nah an die obere Grenze (1) trifft. Die zweite Bedingung heisst, dass ab einem bestimmten Folgenglied [mm] (X_{n_{0}}) \quad X_{n} [/mm] immer näher an die untere Schranke läuft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Igor1 |
[mm] X_{n} [/mm] nimmt Werte in {0,1} und nicht dazwichen, oder?...
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Ja, natürlich meinte ich [mm] A_{n} [/mm]  .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Igor1 |
Ja , ich denke du hast [mm] A_{n} [/mm] gemeint.....
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