fast überall reellwertig < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Sa 15.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hallo, ich möchte gerne Folgendes zeigen:
Jede integrierbare Funktion [mm] f:X\to \overline{\IR} [/mm] ist fast überall reellwertig. |
f bildet ja ab in [mm] \overline{\IR}=\IR \cup \{\pm \infty\}.
[/mm]
Und wenn f nun fast überall reellwertig sein soll, bedeutet das doch, dass [mm] N:=\{x\in \IR: f(x)=\pm \infty\} [/mm] eine Nullmenge sein muss.
Ich würde jetzt sagen:
Da f integrierbar ist, gilt: [mm] \integral {|f|}<\infty, [/mm] so hatten wir das in der Vorlesung jedenfalls. Das bedeutet ja aber eigentlich, dass N die leere Menge ist, weil es gibt ja dann keine Funktionswerte, die gleich unendlich sind (sonst würde das mit dem Integral ja nicht stimmen - oder?). Und die leere Menge hat ja die Eigenschaft: [mm] \mu(\emptyset)=0. [/mm] Daher würde ich sagen, dass damit gezeigt ist, dass N Nullmenge ist.
Kann man das so zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
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> Jede integrierbare Funktion [mm]f:X\to \overline{\IR}[/mm] ist fast
> überall reellwertig.
>
> f bildet ja ab in [mm]\overline{\IR}=\IR \cup \{\pm \infty\}.[/mm]
>
> Und wenn f nun fast überall reellwertig sein soll,
> bedeutet das doch, dass [mm]N:=\{x\in \IR: f(x)=\pm \infty\}[/mm]
> eine Nullmenge sein muss.
>
> Ich würde jetzt sagen:
> Da f integrierbar ist, gilt: [mm]\integral {|f|}<\infty,[/mm] so
> hatten wir das in der Vorlesung jedenfalls. Das bedeutet ja
> aber eigentlich, dass N die leere Menge ist, weil es gibt
> ja dann keine Funktionswerte, die gleich unendlich sind
> (sonst würde das mit dem Integral ja nicht stimmen -
> oder?). Und die leere Menge hat ja die Eigenschaft:
> [mm]\mu(\emptyset)=0.[/mm] Daher würde ich sagen, dass damit
> gezeigt ist, dass N Nullmenge ist.
>
> Kann man das so zeigen?
Ich nehme an wir reden über ein integral im lebesgueschen Sinne, oder? Wenn die Funktion nämlich Riemann-integrierbar wäre, dann hättest du recht, denn dann muss die Funktion auf dem Integrationsgebiet beschränkt sein.
Bei Lebesgue-Integral ist das nicht zwangsläufig der Fall, hier sind auch die Funktionswerte [mm] $\pm\infty$ [/mm] zugelassen.
Zwei Möglichkeiten weiter zu verfahren:
Verwende $ [mm] \integral_X {|f|}dx<\infty, [/mm] $.
Es gilt nämlich mit $ [mm] N:=\{x \in X: f(x)=\pm \infty\}: \integral_X [/mm] {|f|}dx [mm] \geq \integral_N [/mm] {|f|}dx [mm] \ldots$
[/mm]
Was folgt daraus für das Maß von N?
Oder elementarer: Es gilt (das habt ihr sicher in der Vorlesung gezeigt), dass [mm] $f\:$ [/mm] folgende Eigenschaft besitzen muss: Es gibt eine Zerlegung [mm] $Z^\*=\{B_i^\*}$ [/mm] des Integrationsbereichs [mm] $X\:$, [/mm] sodass die Obersumme von [mm] $|f|\:$ [/mm] endlich ist, d.h. [mm] $\summe_{i=1}^{\infty} \sup_{x \in \B_i^\*}f(x)\mu{B_i^\*}<\infty \Rightarrow$ [/mm] ist für ein [mm] $B_i^\* \in Z^\* \sup_{x \in B_i^\*}|f(x)|=\infty$, [/mm] so muss [mm] $\mu(B_i^\*) [/mm] = 0$ gelten. Was folgt damit für die Menge $ [mm] N:=\{x \in X: f(x)=\pm \infty\} [/mm] $?
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Sa 15.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich verstehe leider Deine beiden Hinweise nicht:
Außer Du meinst, dass man die ganze Beheuaptung einfach erstmal für Treppenfunktionen zeigt und dann daraus schließen kann, dass sie allgemein für integrierbare Funktionen gilt.
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Huhu,
der in der Antwort wichtige Hinweis ist folgender:
Es gilt für jede Teilmenge [mm] $N\subset [/mm] X$:
[mm] $\integral_N |f|\, d\mu \le \integral_X |f|\, d\mu$
[/mm]
Setze nun $N := [mm] \{|f| = \infty\}$.
[/mm]
Wäre nun [mm] $\mu(N) [/mm] > 0$ wäre [mm] $\integral_X |f|\, d\mu$ [/mm] sofort was?
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:24 Sa 15.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Bestimmt ist das Vorgeschlagene sehr viel konstruktiver und intelligenter, aber ich möchte gerne fragen, ob mans so machen kann: |
I. Zeige die Aussage für Treppenfkt.n:
Sei f Treppenfkt., [mm] f\geq [/mm] 0, sowie [mm] \integral f<\infty [/mm] (da f n.V. integrierbar ist, gilt [mm] \integral |f|<\infty, [/mm] da aber gilt: f ist integrierbar [mm] \gdw [/mm] |f| ist integrierbar, reicht es anzunehmen, dass [mm] \integral f<\infty.)
[/mm]
In der kanonischen Darstellung lautet die Treppenfkt. f:
[mm] f=\infty*\chi_A+\summe_{j=1}^{m}a_j*\chi_{A_j}, [/mm] wobei die [mm] A_j [/mm] paarweise diskunkt sind und X ergeben und [mm] \{a_1,...,a_m\}\in \IR.
[/mm]
Für das Integral einer Treppenfkt. gilt:
[mm] \int f=\summe_{j=1}^{m}a_j*\mu(A_j).
[/mm]
Sei [mm] N:=\{x\in X:f(x)=\infty\}.
[/mm]
Wenn nun gilt [mm] \summe_{j=1}^{m}a_j \mu(A_j)<\infty [/mm] (n.V.) so folgt: [mm] a_j<\infty [/mm] und [mm] \mu(A_j)<\infty.
[/mm]
Daraus folgt aber: [mm] N=\emptyset [/mm] und [mm] \mu(N)=\mu(\emptyset)=0.
[/mm]
II. nun für nichtnegative meßbare Funktionen:
Sei also f eine nichtnegative meßbare Funktion. Dann gibt es eine Folge [mm] (f_n) [/mm] von Treppenfkt.n mit [mm] \limes_{n \to \infty}f_n=f [/mm] und [mm] f_n\leq f_{n+1}.
[/mm]
Außerdem gilt, da f n.V. integrierbar [analog zur obigen Überlegung]:
[mm] \infty>\integral f=\limes_{n \to \infty}\int f_n.
[/mm]
Da [mm] f_n\leq f_{n+1}, [/mm] gilt wegen der Monotonie des Integrals:
[mm] \integral f_n \leq \integral f_{n+1}.
[/mm]
Da [mm] \limes_{n \to \infty}(\integral f_n)_{n \in \IN}<\infty, [/mm] sind die [mm] f_n<\infty, [/mm] d.h. aber nach I., dass sie reellwertig f.ü. sind.
Ziel ist es zz,. dass auch hier gilt: [mm] \mu(N)=0.
[/mm]
Betrachte dazu die Menge [mm] f^{-1}(\infty) [/mm] der Stellen, an denen f den Wert unendlich hat, d.h.
[mm] f^{-1}(\infty)=\{x\in X: f(x)=\infty\}=:N.
[/mm]
Es gilt [mm] f^{-1}(\infty)=\bigcup_{n\in \IN}f_n^{-1}(\infty), [/mm] wegen der Monotonie der Treppenfkt.n.
Aus dieser Monotonie folgt außerdem, dass [mm] (f_n^{-1}) [/mm] eine monoton wachsende Folge von Mengen ist, also [mm] f_n^{-1}(\infty)\subseteq f_{n+1}^{-1}(\infty). [/mm] Das bedeutet, man kann die Stetigkeit von unten des Maßes nutzen, nämlich:
[mm] \mu(f^{-1}(\infty))=\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}f_n^{-1}(\infty))=\limes_{n \to \infty}\mu(f_n^{-1}(\infty))=\limes_{n \to \infty}0=0.
[/mm]
Also ist N Nullmenge und die Behauptung ist gezeigt.
[mm] \Box
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Mo 17.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 So 16.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich möchte doch lieber eure Idee verwenden, die andere Idee ist viel zu kompliziert und ich weiß nichtmal, ob sie funktioniert.
Ich muss den Ansatz aber erstmal verstehen:
> Es gilt für jede Teilmenge [mm]N\subset X[/mm]:
>
> [mm]\integral_N |f|\, d\mu \le \integral_X |f|\, d\mu[/mm]
Warum gilt das denn? Hat das was mit der Monotonie des Integrals zu tun? Wenn ja, verstehe ich nicht, wieso das bei Teilmengen gilt.
>
> Setze nun [mm]N := \{|f| = \infty\}[/mm].
>
> Wäre nun [mm]\mu(N) > 0[/mm] wäre [mm]\integral_X |f|\, d\mu[/mm] sofort
> was?
>
Ich habe keine Idee, was dann gelten müsste...
Ich stelle mir wirklich blöd an!
> MFG,
> Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 So 16.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
>
> Ich muss den Ansatz aber erstmal verstehen:
>
> > Es gilt für jede Teilmenge [mm]N\subset X[/mm]:
> >
> > [mm]\integral_N |f|\, d\mu \le \integral_X |f|\, d\mu[/mm]
>
> Warum gilt das denn? Hat das was mit der Monotonie des
> Integrals zu tun? Wenn ja, verstehe ich nicht, wieso das
> bei Teilmengen gilt.
Das gilt natürlich nicht für Integrale im allgemeinen, aber der Integrand hier ist [mm] $\geq [/mm] 0$. Es ergibt sich dann aus der Linearität:
[mm]\integral_X |f|\, d\mu = \integral_N |f|\, d\mu + \integral_{X\backslash N} |f|\, d\mu[/mm]
Und da auf der rechten Seite beide Summanden positiv oder 0 sind:
[mm]\integral_X |f|\, d\mu \geq \integral_N |f|\, d\mu[/mm]
> >
> > Setze nun [mm]N := \{|f| = \infty\}[/mm].
> >
> > Wäre nun [mm]\mu(N) > 0[/mm] wäre [mm]\integral_X |f|\, d\mu[/mm] sofort
> > was?
> >
> Ich habe keine Idee, was dann gelten müsste...
Wenn $|f| = [mm] \infty$ [/mm] auf [mm] $N\:$ [/mm] und [mm]\mu(N) > 0[/mm] folgt daraus was für [mm]\integral_N |f|\, d\mu[/mm] ?
Und dann weiter mit: [mm]\integral_X |f|\, d\mu \geq \integral_N |f|\, d\mu[/mm].
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 So 16.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
>
> >
> > Ich muss den Ansatz aber erstmal verstehen:
> >
> > > Es gilt für jede Teilmenge [mm]N\subset X[/mm]:
> > >
> > > [mm]\integral_N |f|\, d\mu \le \integral_X |f|\, d\mu[/mm]
> >
> > Warum gilt das denn? Hat das was mit der Monotonie des
> > Integrals zu tun? Wenn ja, verstehe ich nicht, wieso das
> > bei Teilmengen gilt.
>
> Das gilt natürlich nicht für Integrale im allgemeinen,
> aber der Integrand hier ist [mm]\geq 0[/mm]. Es ergibt sich dann aus
> der Linearität:
> [mm]\integral_X |f|\, d\mu = \integral_N |f|\, d\mu + \integral_{X\backslash N} |f|\, d\mu[/mm]
>
Ich muss leider nochmal was nachfragen:
Was denn für eine Linearität, wo kommt die her?>
> Und da auf der rechten Seite beide Summanden positiv oder 0
> sind:
> [mm]\integral_X |f|\, d\mu \geq \integral_N |f|\, d\mu[/mm]
>
> > >
> > > Setze nun [mm]N := \{|f| = \infty\}[/mm].
> > >
> > > Wäre nun [mm]\mu(N) > 0[/mm] wäre [mm]\integral_X |f|\, d\mu[/mm] sofort
> > > was?
> > >
> > Ich habe keine Idee, was dann gelten müsste...
>
> Wenn [mm]|f| = \infty[/mm] auf [mm]N\:[/mm] und [mm]\mu(N) > 0[/mm] folgt daraus was
> für [mm]\integral_N |f|\, d\mu[/mm] ?
> Und dann weiter mit: [mm]\integral_X |f|\, d\mu \geq \integral_N |f|\, d\mu[/mm].
>
> LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 So 16.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
Linearität ist wohl tatsächlich der falsche Begriff, da hab ich mich vertan. Die Aussage stimmt trotzdem und ihr habt sie sicher im Zusammenhang mit dem Integral bewiesen!
Kennt man ja schon aus der Schule, dass man Integrationsintervalle aufteilen kann: [mm] $\int_0^2\:x\:dx [/mm] = [mm] \int_0^1\:x\:dx [/mm] + [mm] \int_1^2\:x\:dx$
[/mm]
Nichts anderes habe ich gemacht, habe den Integrationsbereich in zwei Teile aufgeteilt.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mo 17.01.2011 | | Autor: | dennis2 |
>
> Wenn [mm]|f| = \infty[/mm] auf [mm]N\:[/mm] und [mm]\mu(N) > 0[/mm] folgt daraus was
> für [mm]\integral_N |f|\, d\mu[/mm] ?
> Und dann weiter mit: [mm]\integral_X |f|\, d\mu \geq \integral_N |f|\, d\mu[/mm].
>
> LG Lippel
>
Ich würde rein intuitiv vermuten, dass dann gelten würde:
[mm]\integral_N |f|\, d\mu[/mm][mm] =\infty [/mm] (*) und das wäre ja ein Widerspruch, da
[mm] \infty>[/mm] [mm]\integral_X |f|\, d\mu \geq \integral_N |f|\, d\mu[/mm].
Aber begründen kann ich es irgendwie nicht, wieso (*) folgen würde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Ich würde rein intuitiv vermuten, dass dann gelten
> würde:
>
> [mm]\integral_N |f|\, d\mu[/mm][mm] =\infty[/mm] (*) und das wäre ja ein
> Widerspruch, da
>
> [mm]\infty>[/mm] [mm]\integral_X |f|\, d\mu \geq \integral_N |f|\, d\mu[/mm].
>
> Aber begründen kann ich es irgendwie nicht, wieso (*)
> folgen würde.
Wenn eine Funktion konstant auf einem Integrationsgebiet ist, ist das Integral dieser Funktion über dieses Gebiet gerade die Konstante mal dem Maß des Gebietes. Übertrage das mal auf den Fall $|f(x)| = [mm] \infty$ [/mm] auf dem Gebiet N, dass ja nach Annahme ein Maß größer 0 hat, dann kommst du direkt zur Aussage (*).
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 So 16.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] $N=\{x \in X: |f(x)|= \infty\}$ [/mm] und [mm] $A_n=\{x \in X: |f(x)|\ge n\}$ [/mm] (n [mm] \in \IN)
[/mm]
Dann ist N [mm] \subseteq A_n [/mm] und
$0 [mm] \le n*\chi_{A_n} \le [/mm] |f|$ auf X
Es folgt (Monotonie de Integrals)
[mm] $n*\mu(A_n) \le \integral_{X}^{}{|f(x)| dx}
[/mm]
und damit:
[mm] $\mu(N) \le \mu(A_n) \le [/mm] 1/n [mm] \integral_{X}^{}{|f(x)| dx}$ [/mm] für jedes n.
FRED
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