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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Fr 31.10.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | Es sei die fibonacci-folge gegeben [mm] (u_n) [/mm] mit [mm] n\in \IN.
[/mm]
außerdem seien a,b [mm] \in \IR [/mm] die 2 Lösungen der gleichung [mm] x^2-x-1=0.Es [/mm] spielt im folgenden keine rolle, welche werte diese zahlen haben, außer, dass a [mm] \not=b [/mm] und [mm] a\ge1. [/mm] Zeige [mm] \forall n\in \IN:
[/mm]
a) [mm] u_n= \bruch{a^n-b^n}{a-b}
[/mm]
b) [mm] a^{n-2} \le u_n \le a^{n-1} [/mm] |
hallo!
ich habe mich über die fibonacci-folge informiert, die auch ganz gut verstanden und nun schon verschieden beweise dazu geführt.
nur bei diesen beiden weiß ich einfach nicht weiter! ich hatte mir zunächst a und b berechnet und wollte dann einsetzen, aber genau dies soll man ja nicht tun! wie gehe ich dann im beweis vor? was soll ich für a,b einsetzen? undwelche beweisform eignet sich überhaupt am besten?
ich bin wirklich dankbar für jeden tipp!!
grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Fr 31.10.2008 | | Autor: | konfuzius |
Hallo jura!
Immer, wenn etwas mit [mm] n\in \IN [/mm] vorkommt, schreit das nach Induktion. Auch wenn ich es nicht explizit durchgemacht habe, fühle ich, dass man sehr gut damit hinkommt. Beachte, dass die [mm] u_n [/mm] rekursiv über 2 Elemente definiert sind und du somit als Induktionsanfang 2 Elemente brauchen würdest.
Außerdem musst du sicherlich die Nullstellen a, b explizit bestimmen.
Der Sinn der Aufgabe ist, dass du für die rekursiv definierte Fibonacci-Folge so eine direkte Formel bekommst!
Probiers doch mal mit Induktion. [mm] u_n [/mm] drückst du mit [mm] u_{n-1} [/mm] und [mm] u_{n-2} [/mm] aus, setzt da die Induktionsvoraussetzung ein [mm] (u_{n-1}=\bruch{a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b} [/mm] etc) und versuchst durch Umformen den passenden Zähler hinzubekommen. Der Nenner passt ja schonmal ;)
Viel Erfolg!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Fr 31.10.2008 | | Autor: | jura |
danke erstmal!
also den induktionsanfang hab ich aufgeschrieben, das stimmt so.
für die ind.voraussetzung habe ich [mm] u_n [/mm] genommen (du ja [mm] u_{n-1} [/mm] ist doch egal oder??).
im ind.schritt steht dann: [mm] u_{n+1}=u_n+u_{n-1}=\bruch{a^n-b^n}{a-b}+u_{n-1}.....wie [/mm] forme ich das dann weiter um?? was mache ich mit [mm] u_{n-1}?
[/mm]
grüße
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> danke erstmal!
> also den induktionsanfang hab ich aufgeschrieben, das
> stimmt so.
Wie sieht denn der IA aus? Hast du es nur für n=1 gezeigt? oder auch für n=2? Ist dir denn das Prinzip der vollständigen Induktion klar, oder nicht? Wenn nein, solltest du dir das vielleicht nochmals anschauen.
> für die ind.voraussetzung habe ich [mm]u_n[/mm] genommen (du ja
> [mm]u_{n-1}[/mm] ist doch egal oder??).
Klar, das ist egal. Du nimmst laut Voraussetzung an, es stimmt bis zu einem gewissen Index n, oder n-1, n+1. Wie du deine Variable nennst, ist egal. Wichtig ist nun zeigen zu können, dass es auch für den folgenden Index n+1, bzw n, n-1, gilt. Das ist Induktion.
> im ind.schritt steht dann:
> [mm]u_{n+1}=u_n+u_{n-1}=\bruch{a^n-b^n}{a-b}+u_{n-1}.....wie[/mm]
> forme ich das dann weiter um?? was mache ich mit [mm]u_{n-1}?[/mm]
Deswegen brauchst du im IA zwei Werte. Dann darfst du nämlich auch [mm] u_{n-1} [/mm] einsetzen, denn [mm] u_{n-1} [/mm] ist dann [mm] =\bruch{a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b}. [/mm]
Zusammen hast du dann [mm] u_{n+1}=\bruch{a^n+a^{n-1}-b^n-b^{n-1}}{a-b}=\bruch{a^{n-1}(a+1)-b^{n-1}(b+1)}{a-b}. [/mm] Das soll aber gleich [mm] \bruch{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} [/mm] sein. Das darfst du jetzt machen  Ist wirklich nicht schwer! Setze einfach mal für a und b die Werte in (a+1) bzw (b+1) ein, und schaue, ob es passt.
Alles klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Fr 31.10.2008 | | Autor: | jura |
hallo nochmal
bei der 2.teilaufgabe beginne ich wieder mit dem IA, welcher mir wahre aussagen liefert.
in der induktionsvoraussetzung steht: [mm] a^{n-2}\le u_n\le a^{n-1}
[/mm]
im induktionschritt schließe ich dann auf n+1, es steht also
[mm] a^{n-1}=a^{n-2}*a \le u_n*a \le u_{n+1}*a.......
[/mm]
und
[mm] a^{n-1}=a^{n-2}*a \le a^{n-1}a \le a^n
[/mm]
kann mir jemand helfen, die ganzen lücken zu schließen??
danke!!
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> hallo nochmal
>
> bei der 2.teilaufgabe beginne ich wieder mit dem IA,
> welcher mir wahre aussagen liefert.
> in der induktionsvoraussetzung steht: [mm]a^{n-2}\le u_n\le a^{n-1}[/mm]
>
> im induktionschritt schließe ich dann auf n+1,
Hallo,
ja, und dann schreibst Du am besten erstmal auf, was zu zeigen ist:
Zu zeigen: [mm] a^{n-1}\le u_{n+1}\le a^{n}
[/mm]
Ich würde das getrennt zeigen:
1. [mm] u_{n+1}\ge a^{n-1}
[/mm]
2. [mm] u_{n+1}\le a^{n}.
[/mm]
Im Beweis mußt Du zweierlei bedenken:
es ist [mm] (u_n) [/mm] die Fibonacci-Folge, und es ist a eine Lösung von [mm] x^2-x-1=0.
[/mm]
zu 1:
Es ist [mm] u_{n+1}=u_n+u_{n-1}\ge [/mm] ...
Um aufs gewünschte ergebnis zu kommen, würde ich nach dem Einsetzen der Induktionsvorraussetzung das gewünschte Ergebnis [mm] a^{n-1} [/mm] ausklammern, dann sieht man besser, wie's geht.
Mach mal!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Sa 01.11.2008 | | Autor: | jura |
danke!
die IV darf ich dann für [mm] u_n [/mm] und auch für [mm] u_{n-1}einsetzen, [/mm] oder? (warum? weil die folge rekursiv definiert ist?)
zu 1.
es steht dann [mm] u_{n+1}.......\ge a^{n-1}(a^{-1}+a^{-2})
[/mm]
was mache ich dann mit der hinteren klammer? ich soll ja die genauen werte von a nicht einsetzen...
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> danke!
> die IV darf ich dann für [mm]u_n[/mm] und auch für
> [mm]u_{n-1}einsetzen,[/mm] oder?
Hallo,
wenn Du's geschickt genug einfädelst.
Das Einfädeln beginnt beim Induktionsanfang.
Du mußt das für zwei aufeinanderfolgende Zahlen zeigen, denn im Induktionsschluß greifst Du ja auf zwei Vorgänger zurück.
Die Induktionsvoraussetzung könntest Du so formulieren: die Behauptung gelte für alle [mm] k\le [/mm] n.
> zu 1.
> es steht dann [mm]u_{n+1}.......\ge a^{n-1}(a^{-1}+a^{-2})[/mm]
>
> was mache ich dann mit der hinteren klammer? ich soll ja
> die genauen werte von a nicht einsetzen...
Hallo,
jetzt mußt Du ganz raffiniert vorgehen:
[mm] a^{n-1}(a^{-1}+a^{-2})=a^{n-1}\bruch{a+1}{a^2}.
[/mm]
Du weißt ja, daß [mm] a^2-a-1=0 [/mm] ist. das kannst Du jetzt verwenden.
Gruß v. Angela
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