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fixierte Räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:13 Fr 30.01.2004
Autor: Moe_Hammed

Hi Leute!

[mm] M=\begin{pmatrix} -5 & -8 & -9 \\ -4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in Mat [/mm]3x3(Q)

Habe dazu  ausgerechnet:

p(x)=-x3-4x2+3x+18
m(x)=(x+3)2(x-2)
Eigenwerte: -3, 2
Eigenräume V(-3)=<(-1,-2,2)>, V(2)=<(-1,2,-1)>

Jetzt soll ich die von M fixierten Teilräume von V=Q3 angeben.
Kann mit dem Begriff "fixierteTeilräume" leider nicht so viel anfangen...  

        
Bezug
fixierte Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:23 Fr 30.01.2004
Autor: Marc

Hallo Moe_Hammed,

> p(x)=-x3-4x2+3x+18

[ok]

>  m(x)=(x+3)2(x-2)

[ok]

>  Eigenwerte: -3, 2

[ok]

>  Eigenräume V(-3)=<(-1,-2,2)>, V(2)=<(-1,2,-1)>

Das habe ich noch nicht nachgerechnet, aber es wird für deine Frage auch nicht benötigt.

> Jetzt soll ich die von M fixierten Teilräume von
> V=Q3 angeben.
>  Kann mit dem Begriff "fixierteTeilräume" leider nicht so
> viel anfangen...  

Den Begriff kenne ich so auch nicht, aber -- besonders in diesem Zusammenhang -- Sinn machen würde, dass damit die M-invarianten Teilräume gemeint sind, also die Vektorräume [mm] $W_i\subset V=\IQ^3$, [/mm] so dass [mm] $M(W_i)\subset W_i$. [/mm]
(Das Bild jedes Vektors aus [mm] $W_i$ [/mm] befindet sich wieder in [mm] $W_i$.) [/mm]

Das Minimalpolynom hast du nun ja schon gefunden, und du hast es auch schon direkt als Produkt irreduzibler Faktoren hingeschrieben: [mm] $m(x)=p_1^{n_1}*p_2^{n_2}$ [/mm] mit [mm] $p_1=x+3$ [/mm] und [mm] $p_2=x-2$ [/mm] und [mm] $n_1=2$, $n_2=1. [/mm]

Für die M-invarianten Teilräume gilt nun [mm] $$W_i=\Kern p_i(M)^{n_i}$$ [/mm]
Das ist nur eine auf den ersten Blick komplizierte Schreibweise für ein einfaches lineares Gleichungssystem; zuerst eine kleine Nebenrechnung:
[mm] $p_1(M)^{n_1}=(M+3)^2=\begin{pmatrix} 0 & -25 & -25 \\ 0 & 50 & 50 \\ 0 & -25 & -25 \end{pmatrix}$ [/mm] und
[mm] $p_2(M)^{n_2}=M-2=\begin{pmatrix} -7 & -8 & -9 \\ -4 & -1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ [/mm]
Zu lösen sind also diese LGS:
für [mm] $W_1: \; \left( \begin{array}{ccc|l} 0 & -25 & -25 & 0\\ 0 & 50 & 50 & 0\\ 0 & -25 & -25 & 0\end{array}\right)$ [/mm]
für [mm] $W_2: \; \left( \begin{array}{ccc|l} -7 & -8 & -9 & 0 \\ -4 & -1 & 2 & 0\\ 4 & 1 & -2 & 0\end{array}\right)$ [/mm]

Kommst du klar?

Viele Grüße,
Marc.

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