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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Fr 08.02.2008 | | Autor: | toros |
| Aufgabe | (a) berechne den flächeninhalt A der fläche, die von den funktionen
[mm] y_1(x)=x^2+2x+1,
[/mm]
[mm] y_2(x)=3x+1
[/mm]
eingeschlossen wird. bestimme die x- und die y-komponente des schwerpunkts durch die integrale
[mm] s_x=\frac{1}{A}\int_A dxdy\,x,
[/mm]
[mm] s_y=\frac{1}{A}\int_A dxdy\,y
[/mm]
(b) berechne das volumen, das von der z=0-ebene und der fläche [mm] x^2+y^2+z=1 [/mm] eingeschlossen wird.
(c) berechne die gesamte oberfläche des in (b) beschriebenen volumens. gib für die ganze oberfläche eine explizite rechnung durch oberflächenintegrale an. es bietet sich an, die rechnung in zwei abschnitten durchzuführen. |
hallo,
zu (a):
[mm] A=\int_{-1}^{-1/3}\int_{x^2+2x+1}^{3x+1} dydx\approx [/mm] 1.901
[mm] s_x=\frac{1}{A}\int_{-1/3}^{-1}\int_{x^2+2x+1}^{3x+1} dxdy\,x\approx [/mm] 0.714
[mm] s_y=\frac{1}{A}\int_{-1}^{-1/3}\int_{x^2+2x+1}^{3x+1} dxdy\,y\approx [/mm] 1.9629
zu (b):
[mm] V=\int_{-1}^{1}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{-\sqrt{1-x^2}}(x^2+y^2-1)dydx\approx [/mm] 1.195
zu (c):
1) die grundfläche wird berechnet:
[mm] \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}rdrd\phi=\pi
[/mm]
2) der mantel wird berechnet:
[mm] \int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{0}(r^2-1)rdrd\phi=\frac{\pi}{2}
[/mm]
gesamte oberfläche: [mm] \pi+\frac{\pi}{2}=\frac{3}{2}\pi
[/mm]
kann mir einer bitte sagen, ob dass alles stimmt?
danke!
gruss toros
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Fr 08.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich verstehe schon nicht dein erstes Integral und seine Grenzen. warum nicht einfach
[mm] A=\integral_{-1}^{0}{y2(x)-y1(x) dx}
[/mm]
Mein Ergebnis ist völlig anders.
2. auch die Schwerpunkte sind falsch. da die betrachtete Fläche im 2. Quadranten liegt, muss [mm] x_s<0 [/mm] sein, und da die Fläche unterhalb y=1 liegt muss [mm] y_s<1 [/mm] sein.
zub) da hätte ich in Zylinderkoordinaten gerechnet, da hab ich ein anderes Ergebnis.
zuc) Grundfläche richtig.
Mantel, die falsche Formel Das gibt keine Fläche, wie diu schon an der Dimension siehst r^2dr ist ein Volumen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:40 Fr 08.02.2008 | | Autor: | toros |
hi leduart,
die fläche liegt im ersten quadranten. für die fläche hab ich 1/6 raus...
gruss toros
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Sa 09.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht, sorry
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Sa 09.02.2008 | | Autor: | toros |
hi leduart,
hab's jetzt neu gerechnet. es ist doch alles einfacher, wenn man sich die funktionen mal aufzeichnet...
zu (a):
[mm] A=\int_{0}^{1}(y_2-y_1) dx=\frac{1}{6}
[/mm]
[mm] s_x=\frac{1}{A}\int_{0}^{1}\int_{x^2+2x+1}^{3x+1} dxdy\,x=\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] s_y=\frac{1}{A}\int_{0}^{1}\int_{x^2+2x+1}^{3x+1} dxdy\,y=\frac{12}{5}=2,4
[/mm]
zu (b):
[mm] V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi}(r^2-1)d\phi dr=\frac{\pi}{2}
[/mm]
stimmt das jetzt? welche formel verwendet man für den mantel?
danke!
gruss toros
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 So 10.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fläche 1/6 stimmt
Volumen [mm] \pi/2 [/mm] stimmt.
Flächenelement [mm] rd\phi*ds [/mm] um die Oberfläche zu berechnen dabei ist bei dieser Rotationsfläche [mm] ds=\wurzel{1+(dz/dr)^2}dr
[/mm]
mit [mm] z=1-r^2
[/mm]
kannst du dann das Integral bilden
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 So 10.02.2008 | | Autor: | toros |
hi,
für den mantel hab ich
[mm] 2\pi\int_0^1r\sqrt{1+4r^2}\,dr\approx [/mm] 5.3
gruss toros
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