fn -> f => f'n -> f' < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei U [mm] \subseteq \IC [/mm] offen, und sei fn eine Folge holomorpher Funktionen auf U mit Werten in einem komplexen Banachraum, welche gleichmäßig auf kompakten Teilmengen von U gegen f konvergiert. Zeigen Sie: Die Folge f'n konvergiert gleichmäßig auf kompakten Teilmengen von U gegen die Ableitung f' von f. |
Hallo! Ich habe ein Problem mit obiger Aufgabe. Es sollte reichen, zu zeigen, dass die Folge der Ableitungen überhaupt konvergiert; dass die Grenzfunktion dann die Ableitung von f ist folgt dann aus einer Aufgabe, die ich schon gelöst habe. Dazu würde ich versuchen zu zeigen, dass sie eine Cauchy-Folge ist. Habe auch schon versucht mit Sachen wie gleichmäßiger Stetigkeit einer Differenzfunktion fm(x)-fn(x) für genügend große m, n auf einer kompakten Menge die Norm der Ableitung dieser Funktion abzuschätzen, aber das hat nicht gefruchtet.
Kann mir vielleicht jemand wenigstens mit ein paar Schlagworten den Weg skizzieren, damit ich nicht völlig in die Irre laufe? Das wäre nett.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Das ist ein Satz von Weierstraß. Siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) hier, Satz 62.10, oder hier, Satz 3.5.2
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