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| Aufgabe | Ist [mm] {s_{n}} [/mm] eine komplexe Folge, dann definiert man ihr arithme-
tisches Mittel [mm] o_{n}durch:
[/mm]
[mm] o_{n}=\bruch{s_{0} + s_{1} + ... + s_{n}}{
n + 1}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
(n = 0; 1; 2, ... )
(i) Ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} {s_{n}}=s [/mm] , so beiweise man, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}0_{n}= [/mm] s ist.
(ii) Man konstruiere eine Folge {sn}, die nicht konvergiert, für die aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}o_{n}=
[/mm]
0 gilt. |
Kann man hier davon ausgehen, dass [mm] s_{0} [/mm] + [mm] s_{1} [/mm] + ... + [mm] s_{n} [/mm] die natürlichen Zahlen von 0,...n sind?
Wenn ja, könnte man sie dann nicht durch die gaußsche formel [mm] \bruch{n(n+1)}{2}?
[/mm]
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> Ist [mm]{s_{n}}[/mm] eine komplexe Folge, dann definiert man ihr
> arithme-
> tisches Mittel [mm]o_{n}durch:[/mm]
> [mm]o_{n}=\bruch{s_{0} + s_{1} + ... + s_{n}}{
n + 1}[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> (n = 0; 1; 2, ... )
> (i) Ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} {s_{n}}=s[/mm] , so
> beiweise man, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}0_{n}=[/mm] s
> ist.
> (ii) Man konstruiere eine Folge {sn}, die nicht
> konvergiert, für die aber
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}o_{n}=[/mm]
> 0 gilt.
> Kann man hier davon ausgehen, dass [mm]s_{0}[/mm] + [mm]s_{1}[/mm] + ... +
> [mm]s_{n}[/mm] die natürlichen Zahlen von 0,...n sind?
Aber nein, es sind doch, wie Du weiter oben selbst geschrieben hast, Glieder einer (zunächst einmal) beliebigen Folge komplexer Zahlen.
Zu (i): Wir dürfen also annehmen, dass [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}s_n=s$. [/mm] Dass daraus die Konvergenz der Folge der Mittel [mm] $o_n$ [/mm] gegen $s$ folgt, beweist Du dann z.B. etwa, indem Du für beliebiges vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] zeigst, dass es ein [mm] $n_0$ [/mm] gibt, so dass für alle [mm] $n\geq n_0$ [/mm] folgt: [mm] $|s-o_n|<\varepsilon$.
[/mm]
Bedenke, dass ja gilt
[mm]|s-o_n|=\left|\frac{(s-s_0)+\cdots+(s-s_{n_1})+(s-s_{n_1+1})+\cdots (s-s_n)}{n+1}\right|\leq \frac{|s-s_0|+\cdots+|s-s_{n_1}|+|s-s_{n_1+1}|+\cdots +|s-s_n|}{n+1}[/mm]
Wegen [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}s_n=s$ [/mm] gibt es jedenfalls ein [mm] $n_1$, [/mm] so dass für alle [mm] $n\geq n_1$ [/mm] gilt: [mm] $|s-s_n|<\frac{\varepsilon}{2}$. [/mm] Nun musst Du [mm] $n_0$ [/mm] jedenfalls grösser als [mm] $n_1$ [/mm] wählen, aber auch so gross, dass der Einfluss der [mm] $s_n$ [/mm] mit [mm] $n
Zu (ii): betrachte etwa [mm] $s_n [/mm] := [mm] (-1)^n$.
[/mm]
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