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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Do 01.07.2004 | | Autor: | gammatau |
hallo,
ich hab ein problem mit dem folgenden integral hier, kann es einfach nicht auflösen.
[mm] \int_{- \infty}^{\infty} \bruch {1} {1+t^2}*e^{-iwt}\, dt [/mm]
das einzige was ich in dem integral erkenne wäre, das
[mm] \bruch {1}{1+t^2}[/mm]
integriert
[mm]\arctan{t}[/mm]
ist
aber ich hab keine ahnung ob mich das weiter bring, hab auch schon versucht [mm]\arctan{t}[/mm] in [mm]\bruch {i}{2} \ln{ \bruch{1+it}{1-it}}[/mm] umzuwandeln.
kann mir da jemand weiter helfen?
danke
tschau
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Do 01.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo gammatau!
Das Integral
[mm]\int\limits_{- \infty}^{\infty} \bruch {1} {1+t^2}*e^{-iwt}\, dt[/mm]
lässt sich elementar nicht berechnen. Man braucht funktionentheoretische Hilfsmittel.
Wir nehmen oBdA $w<0$ an. (Im Falle $w>0$ betrachte man sonst di konjugiert komplexe Fouriertransformierte.) Die meromorphe Funktion
$z [mm] \mapsto \frac{e^{-iwz}}{1+z^2} [/mm] = [mm] \frac{e^{-iwz}}{(z-i)(z+i)}$
[/mm]
besitzt in $z=i$ einen Pol (erster Ordnung) mit dem Residuum [mm] $\frac{1}{2i} e^{w}$.
[/mm]
Nach dem Residuensatz ist daher:
[mm] $\int\limits_{-r}^r \frac{e^{-iwt}}{1+t^2} \, [/mm] dt + [mm] \int\limits_{H_r} \frac{e^{-iwz}}{1+z^2}\, [/mm] dz = [mm] \pi e^{w}$,
[/mm]
wenn dabei $r>1$ ist und [mm] $H_r$ [/mm] den in Richtung von $+r$ nach $-r$ zu durchlaufenden Halbkreis bezeichnet, welcher Durchschnitt der Kreislinie vom Radius $r$ und Mittelpunkt $0$ mit der oberen Halbebene $Imz>0$ ist. Für alle $z [mm] \in H_r$ [/mm] ist nun offenbar wegen $w<0$ und $Imz>0$:
[mm] $\big\vert \frac{e^{-iwz}}{1+z^2} \big\vert \le \frac{1}{r^2 - 1}$.
[/mm]
Damit strebt das Integral über [mm] $H_r$ [/mm] für $r [mm] \to \infty$ [/mm] gegen Null, und man erhält:
[mm] $\int\limits_{- \infty}^{\infty} \bruch [/mm] {1} [mm] {1+t^2}*e^{-iwt}\, [/mm] dt = [mm] \pi e^w$ [/mm] = [mm] \pi e^{-|w|}.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Do 01.07.2004 | | Autor: | gammatau |
hallo,
erstmal danke für die mühen.
aber ich muss gestehen das ich kaum was verstanden hab.
geht das nicht vielleicht auch einfacher.
in den entsprechenden vorlesungen zu dem thema, hatten wir bisher noch nichts von dem was du für die lösung des problems heran gezogen hast.
dennoch ist dieses integral als aufgabe ausgegeben wurden.
tschau
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Do 01.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Naja, ich finde den Beweis so wunderschön und sehr elementar.
Aber man kann es natürlich auch anders machen. Kennst du die inverse Fourier-Transformation?
Wenn ja, dann zitiere mir mal den Satz so, wie ihr ihn aufgeschrieben habt und versuche ihn mal anzuwenden.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Do 01.07.2004 | | Autor: | gammatau |
hallo,
dein lösungsvorschlag ist sicherlich sehr elegant und sieht gut aus, hab ja auch was für mich raus nehemen können, nähmlich:
[mm]1+t^2=(t+i)*(t-i)[/mm]
aber den rest hab ich einfach nicht verstehen können.
aber jetzt zur inversen fouriertransformation, du meinst bestimmt die umkerhfunktion der fouriertransformation.
[mm]f(x)=F^{-1}[F(w)]=\bruch {1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(w)e^{iwx} \,dw[/mm]
bei mir wär das dann ja:
[mm]\bruch{1}{1+t^2}=F^{-1}[F(w)]=\bruch {1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(w)e^{iwx} \,dw[/mm]
aber wie soll ich dann weiter machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Do 01.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Okay, damit bekommt man keine konstruktive Lösung, aber du kannst ja die Fourier-Transformierte, die aus meinen Rechnungen oben vermutest (denk daran, eventuell mit $2 [mm] \pi$ [/mm] zu normieren, je nachdem, wie ihr die Fourier-Transformierte definiert habt, das könntest du auch noch einmal angeben, denn das ist immer unterschiedlich), verifizieren, indem du sie für $F$ einsetzt und dann zeigst, dass die letzte Gleichheit in deinem letzten Posting gilt.
Du brauchst dich ja dafür nicht zu rechtfertigen, wie du auf $F$ gekommen bist, volle Punktzahl gibt es (normalerweise) trotzdem dafür. 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Do 01.07.2004 | | Autor: | gammatau |
hallo,
ok, werd das so machen.
aber woran erkenn ich ob ich noch mit 2[mm]\pi[/mm] normieren muss, und was muss ich da normiern und wie?
tschau
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Do 01.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Wie habt ihr die Fourier-Transformierte einer Funktion denn ganz genau definiert?
Davon hängt das ab.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Do 01.07.2004 | | Autor: | gammatau |
hallo,
also wir ham die gleichung so aufgeschrieben:
[mm] F(w)=\int_{- \infty}^{\infty} f(t)*e^{-iwt}\, dt [/mm]
tschau
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Do 01.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo gammatau!
Das ist sehr schön. Dann musst du jetzt nur noch nachweisen, dass
[mm] $\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \pi e^{-|w|} e^{itw}\, [/mm] dw = [mm] \frac{1}{1+t^2}$
[/mm]
ist (und das kann ja so schwer nicht sein, denke ich mal, habe es aber noch nicht versucht). Damit hast du dann gezeigt, dass
[mm] $F(\frac{1}{1+t^2})(w) [/mm] = [mm] \pi e^{-|w|}$
[/mm]
gilt, d.h. die Fourier-Transformierte von $f(t) = [mm] \frac{1}{1+t^2}$ [/mm] ist gleich $F(w) = [mm] \pi e^{-|w|}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Do 01.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo gammatau!
Also, ich habe es vorhin nachgerechnet, es kommt hin. Rechne beide Integrale einzeln aus, über [mm] $\IR^+$ [/mm] und über [mm] $\IR^-$ [/mm] und füge dann beides zusammen.
Wenn du es nicht hinbekommst und ich es dir vorrechnen soll, dann melde dich bitte wieder.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Do 01.07.2004 | | Autor: | gammatau |
hallo,
ich habs jetzt mal nachgerechnet, aber irrgendwie schleift sich da immer noch ein minus mit durch!
für w>0:
[mm]\bruch{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\pi e^{-w}e^{iwt}\,dw=\bruch{1}{2}[\bruch{e^{-w(1-it)}}{1-it}]_{0}^{\infty}=\bruch{1}{2}[\bruch{-1}{1-it}][/mm]
für w<0:
[mm]\bruch{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0}\pi e^{w}e^{iwt}\,dw=\bruch{1}{2}[\bruch{e^{-w(-1-it)}}{-1-it}]_{-\infty}^{0}=\bruch{1}{2}[\bruch{1}{-1-it}][/mm]
wenn ich das dann noch addiere kommt:
[mm]\bruch{-1}{1+t^2}[/mm]
raus, komisch, das minus müsste noch weg.
tschau
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Do 01.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo gammatau!
Das sieht doch schon mal ganz gut aus. Ich verbessere deine Fehler mal mit rot.
> für w>0:
> [mm][mm]\bruch{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\pi e^{-w}e^{iwt}\,dw=\bruch{1}{2}[\bruch{e^{-w(1-it)}}{\red{-1+it}}]_{0}^{\infty}=\bruch{1}{2}[\bruch{-1}{\red{-1+it}}][/mm]
für w<0:
[mm]\bruch{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{0}\pi e^{w}e^{iwt}\,dw=\bruch{1}{2}[\bruch{e^{-w(-1-it)}}{\red{1+it}}]_{-\infty}^{0}=\bruch{1}{2}[\bruch{1}{\red{1+it}}][/mm]
So, jetzt kommt es hin.
Okay?
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Do 01.07.2004 | | Autor: | gammatau |
hallo,
danke für deine korrekturen, ärgert mich ein bisschen, dass ich das nicht selber gesehen hab, aber jetzt passt es.
nochmal danke für deine hilfe!
tschau
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