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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Do 29.10.2009 | | Autor: | idler |
| Aufgabe | Das Produkt aus einer komplexen Zahl z=a+ib und der komplexkonjugierten Zahl z'=a-ib ist gleich 5. Der Quotient aus [mm] \bruch{z}{z'}=\bruch{3+i4}{5}.
[/mm]
Berechenen Sie den reelen und imaginären Anteil der komplexen Zahl z. |
hi, ich sitze grade an dieser Aufgabe und und habe schon ein paar lösungsansätze gestartet, bleibe jedoch immer irgendwo hängen und komme nicht weiter. wäre nett, wenn mir jemand weiter helfen könnte oder mir sagt, wenn ich von anfang an den falschen Ansatz habe.
(a+ib)*(a-ib)=5=a²+b² => [mm] a=\wurzel[2]{5-b²}
[/mm]
[mm] \bruch{(a+ib)}{(a-ib)}=\bruch{3+i4}{5}
[/mm]
eingesetzt: [mm] \bruch{(\wurzel[2]{5-b²}+ib)}{(\wurzel[2]{5-b²}-ib)}=\bruch{3+i4}{5}
[/mm]
jetzt ist mir nicht klar, wie ich nach b auflösen kann.
irgend ein Trick den ich nicht sehe ?
danke schonmal ;D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Do 29.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir wissen schon:
(*) 5=a²+b²
Weiter
[mm] $\bruch{3+i4}{5}= \bruch{(a+ib)}{(a-ib)}= \bruch{(a+ib)^2}{(a-ib)(a+ib)}=\bruch{(a+ib)^2}{5}$
[/mm]
Somit: $3+4i = [mm] (a+ib)^2 [/mm] = [mm] a^2-b^2+2iab$
[/mm]
Kommst Du jetzt weiter ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Do 29.10.2009 | | Autor: | idler |
irgendwie kommt mir die Erleuchtung nicht. Ich verstehe zwar deine umformung komme aber nach dem einsetzen immer noch nicht dazu nach a oder b aufzulösen.
ich hänge bei [mm] -1+2i=i\wurzel{5-b^{2}}*b-b^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Do 29.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hattest doch schon [mm] (a+ib)^2=3+4i
[/mm]
also [mm] Re((a+ib)^2)=3 IM((a+ib)^2)=4
[/mm]
hast du die 2 Gleichungen hingeschrieben? Da kommt doch i gar nicht mehr vor?
hast du vergessen, dass auch Im(z) ne reelle Zahl ist?
Also schreib deine Rechnung auf, aus einem falschen Endergebnis kann man nichts über deinen Irrweg sagen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Do 29.10.2009 | | Autor: | idler |
meine rechnung sag so aus:
[mm] a=\wurzel{5-b^{2}}
[/mm]
[mm] 3+4i=a^{2}-b^{2}+2iab
[/mm]
[mm] 3+4i=5-2b^{2}+2i\wurzel{5-b^{2}}*b [/mm] |-5 |:2
[mm] -1+2i=-b^{2}+i\wurzel{5-b^{2}}*b
[/mm]
was du da geschrieben hast mit dem [mm] Re(()^{2})... [/mm] habe ich nicht so ganz verstanden. was meinst du damit ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Do 29.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> meine rechnung sag so aus:
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> [mm]a=\wurzel{5-b^{2}}[/mm]
> [mm]3+4i=a^{2}-b^{2}+2iab[/mm]
der Realteil der rechten Zahl ist doch [mm] a^2+b^2
[/mm]
der Imaginärteil 2ab
2 komplexe Zahlen a+ib und x*iy sind nur gleich also a+ib=x+iy wenn die Realteile UND die Imaginärteile gleich sind
aus a+ib=x+iy <==> a=x, b=y
(dass [mm] a^2+b^2=5 [/mm] hatten wir schon vorher verwendet!)
also nimm die 2 Gleichungen, und rechne daraus a,b aus
deine folgende Rechnung ist zwar nicht falsch, am Ende kannst du wieder die Re und IM gleichsetzen, und damit b rauskriegen, aber viel umständlicher.
Gruss leduart
> [mm]3+4i=5-2b^{2}+2i\wurzel{5-b^{2}}*b[/mm] |-5 |:2
> [mm]-1+2i=-b^{2}+i\wurzel{5-b^{2}}*b[/mm]
>
Wenn irgendwo steht : (reelle Zahlenkombination)
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