frechet-diffbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Mi 02.07.2008 | | Autor: | nicki83 |
hallo,
wenn man frechet-diffbarkeit zeigen will, dann muss man doch zeigen, dass folg gilt: [mm] f(x_0 +h)=f(x_0)+L(h)+r(h) [/mm] mit [mm] L(h)=f´(x_0,h). [/mm]
die aufgabe lautet:zeige, ob [mm] f(x,y)=x^2 [/mm] * y F-diffbar in [mm] (x_0,y_0) [/mm] und geben sie ggf. dei F-ableitung [mm] f´(x_0,y_0) [/mm] und rest r( [mm] \vektor{h\\ k} [/mm] )an.
mein ansatz:
[mm] f(x,y)=x^2 [/mm] * y
[mm] f((x_0+h)^2,y_0+k)=(x_0+h)^2 [/mm] * [mm] (y_0+k)
[/mm]
[mm] =f((x_0)^2,y_0)+L (\vektor{h\\k}+r(h,k)
[/mm]
mit L [mm] (\vektor{h\\k}) [/mm] = [mm] (x_0)^2 [/mm] * k+ [mm] y_0 [/mm] * [mm] h^2 +2*x_0 *y_0 [/mm] * h [mm] +2*x_0 [/mm] *h *k [mm] =((x_0)^2 *y_0) [/mm] * [mm] (h^2*k) [/mm] + [mm] 2*x_0 *y_0 [/mm] * h + [mm] 2*x_0 [/mm] *h *k
[mm] =(y_0,(x_0)^2) [/mm] * [mm] (\vektor{h^2\\k} [/mm] + [mm] 2*x_0 *y_0 [/mm] * h + [mm] 2*x_0 [/mm] *h *k
und wie ich den rest angeben soll weiss ich nicht.
wäre schön, wenn mal jemand drüberschauen könnte und mir evtl. sagen könnte wo die fehler liegen oder ob man es so machen kann.
vielen lieben dank!
lg nici
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Fr 04.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo nici!
> hallo,
> wenn man frechet-diffbarkeit zeigen will, dann muss man
> doch zeigen, dass folg gilt: [mm]f(x_0 +h)=f(x_0)+L(h)+r(h)[/mm] mit
> [mm]L(h)=f´(x_0,h).[/mm]
>
> die aufgabe lautet:zeige, ob [mm]f(x,y)=x^2[/mm] * y F-diffbar in
> [mm](x_0,y_0)[/mm] und geben sie ggf. dei F-ableitung [mm]f´(x_0,y_0)[/mm]
> und rest r( [mm]\vektor{h\\ k}[/mm] )an.
>
> mein ansatz:
> [mm]f(x,y)=x^2[/mm] * y
> [mm]f((x_0+h)^2,y_0+k)=(x_0+h)^2[/mm] * [mm](y_0+k)[/mm]
> [mm]=f((x_0)^2,y_0)+L (\vektor{h\\k}+r(h,k)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> mit [mm]L \vektor{h\\k}) = (x_0)^2 * k+ y_0 * h^2 +2*x_0 *y_0 * h +2*x_0 *h *k =((x_0)^2 *y_0) * (h^2*k) + 2*x_0 *y_0 * h + 2*x_0 *h *k [/mm]
Nein. Der entscheidende Punkt hier ist, dass [mm] $L(\cdot)$ [/mm] eine lineare Abbildung ist, also
[mm] L (\vektor{h\\k})+r(h,k) = \underbrace{(x_0)^2 * k + 2*x_0 *y_0 * h}_{L (\vektor{h\\k})} + \underbrace{y_0 * h^2 + 2*x_0 *h *k + h^2*k}_{r(h,k)} [/mm]
oder
[mm] L(\vektor{h\\k}) = (2x_0y_0,x_0^2) * \vektor{h\\k} [/mm]
Du siehst, dass
[mm] (2x_0y_0,x_0^2) = \left(\bruch{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0), \bruch{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\right) [/mm]
Denn wenn die Fréchet-Ableitung existiert, existiert auch die Gâteaux-Ableitung.
Viele Grüße
Rainer
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