frechet-differenzierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Do 03.07.2003 | | Autor: | dizzie |
hallo...!
ich hab jetzt in verschiedenen büchern nachgeschlagen und überall 'ne andere antwort bekommen, also frag ich hier noch mal...
kann mir mal bitte jemand möglichst einfach erklären, wann eine funktion frechet-stetig, bzw. frechet-differenzierbar ist...?
und wann genau ein integral ein riemann-integral ist...?
danke schon mal... :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Do 03.07.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo dizzie,
willkommen im MatheRaum  !
Den Begriff frechet-stetig kenne ich nicht.
Frechet-differenzierbar ist gleichbedeutend mit total differenzierbar.
Kennst du den Begriff des totalen Differentials?
Das hat ähnliche Eigenschaften wie die bekannte Entsprechung im eindimensionalen Fall, und ist damit so zu sagen die Erweiterung dieses Differenzierbarkeitsbegriffs auf Abbildungen von Vektorräumen (also [mm] f: G \mapsto W [/mm], wobei G und W (endlichdimensionale) Vektorräume).
Falls du näheres zum totalen Differential wissen willst, melde dich bitte wieder, aber vielleicht hilft dir das ja schon weiter.
Zu Riemann-Integralen schreibe ich gleich noch was.
Bis gleich,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Do 03.07.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo dizzie,
> ich glaube, ich hab das auch einigermaßen verstanden, also
> frechet-differenzierbarkeit ist im prinzip die normale differenzierbarkeit, nur
> im mehrdimensionalen raum... das mit dem totalen differential sagt mir auch
> was...
> wie weise ich nun die differenzierbarkeit einer funktion im
> mehrdimensionalen raum mathematisch korrekt nach...?
Hast du denn eine Definition zur totalen/Frechet Differenzierbarkeit vorliegen? Dort wird ja wahrscheinlich gesagt (siehe meine Def. unten), dass die Abbildung f total diffbar ist, wenn es eine lineare Abb. [mm] A: \IR^n \mapsto \IR^m [/mm] gibt, so daß der Grenzwert eines bestimmten Ausdrucks Null wird.
Also mußt du zeigen, dass es eine solche lineare Abbildung gibt.
Oder du wendest einen der Sätze zur totalen Diffbarkeit an, z.B. den, dass eine Abbildung f genau dann diffbar ist, wenn die Komponentenfunktionen [mm] f_i [/mm] von [mm] f [/mm] total diffbar sind.
Bei welcher Aufgabe stellt sich denn deine Frage bzw. poste doch mal eine Aufgabe, wo die totale Diffbarkeit gezeigt werden muß.
Damit wir über das gleiche sprechen, hier eine Definition der totalen Diffbarkeit, zititert aus "Vieweg Mathematik Lexikon":
Sei [mm] U \subset \IR^n [/mm] offen und [mm] f: U \mapsto \IR^m [/mm] eine Abbildung.
Dann heißt [mm]f[/mm] in [mm] x \in U[/mm] differenzierbar oder total differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung [mm] A:\IR^n \mapsto \IR^m [/mm] gibt, so daß
[mm] \lim_{\|h\| \rightarrow 0}\limits \frac{1}{\|h\|} \| f(x+h)-f(x)-A(h) \| = 0 [/mm].
Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Do 03.07.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo dizzie,
mmh, einem Integral selbst kann man es nicht ansehen, ob es ein Riemann-Integral ist. Ein Riemann-Integral zu sein ist keine Eigenschaft, sondern die Art und Weise, wie das Integral berechnet wird.
Das muß also irgendwie aus dem Kontext hervorgehen, dass ein Integral mit Riemann'scher Technik zu berechnen ist.
Unter dem Riemann-Integral versteht man nun die Berechnung des Integrals, wie man es aus dem Schulunterricht kennt, also mit Ober- und Untersummen.
Ein anderer Integral-Begriff ist übrigens das Lebesgue-Integral, ich weiß nicht, ob deine Frage im Vergleich dazu zu sehen ist. Überlicherweise wird das Lebesgue'sche Integrationstheorie in Analysis III behandelt.
Danke für deine Fragen, melde dich bitte wieder, falls etwas unklar blieb
Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Do 03.07.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Dizzie,
>also > frechet-differenzierbarkeit ist im prinzip die normale
> differenzierbarkeit, nur im mehrdimensionalen raum... das mit
> dem totalen differential sagt mir auch was...
Siehe dazu meine andere Antwort: Es sind sogar unendlichdimensionale normierte Vektorräume (meist Funktionenräume) mit erfasst.
> ahja, die riemann-integrale sind also nur die einfachen
> schul-integrale... das muss einem auch erstmal gesagt werden...
>  ich hoffe, das ist auch so trivial, wie es sich anhört...
Naja, was heißt hier trivial? Aber ich kann deine Hoffnung bestätigen. Es sind die mittels Ober- und Untersumme approximierten Integrale, die man auch aus der Schule kennt.
Viele Grüße
Stefan
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