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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | | Sei [mm] B={(x,y)\in \IR^{2}: x > 1,y > 1,(x-1)^{2}+(y-1)^{2}<1} [/mm] und [mm] f(x,y)=arctan(\bruch{y-1}{x-1}). [/mm] Man Skizziere B und bestimme [mm] \integral_{B}^{}{f(x,y) d(x,y)} [/mm] |
Guten Abend.
Nach meinen bisherigen Überlegungen, habe ich rausgefunden, dass durch die 3.Bedingung [mm] ((x-1)^{2}+(y-1)^{2}<1) [/mm] ein Kreis um den Punkt (1,1) mit dem Radius 1 dargestellt wird, wobei die äußere Kreisscheibe nicht dazu gehört. Durch die ersten beiden Bedingungen wird dieser Kreis auf den oberen rechten Viertelkreis beschränkt, was der Menge B entspricht.
Nun würde ich gerne Polarkoordinaten anwenden weiß jedoch nicht wie. Die Grenzen wären aufgrund des Viertelkreises für das eine Integral 0 und [mm] \bruch{\pi}{2}. [/mm] Jedoch wüsste ich dann die zweiten Grenzen nicht und bin mir ohnehin unsicher ob und wie ich die Polarkoordinaten anwenden soll.
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Hallo,
> Sei [mm]B={(x,y)\in \IR^{2}: x > 1,y > 1,(x-1)^{2}+(y-1)^{2}<1}[/mm]
> und [mm]f(x,y)=arctan(\bruch{y-1}{x-1}).[/mm] Man Skizziere B und
> bestimme [mm]\integral_{B}^{}{f(x,y) d(x,y)}[/mm]
> Guten Abend.
> Nach meinen bisherigen Überlegungen, habe ich
> rausgefunden, dass durch die 3.Bedingung
> [mm]((x-1)^{2}+(y-1)^{2}<1)[/mm] ein Kreis um den Punkt (1,1) mit
> dem Radius 1 dargestellt wird,
Naja, ein Kreis ist es eigentlich nicht wirklich. Besser: Es handelt sich um eine offene Kreisscheibe. Also um eine Kreisscheibe, wo der Rand jedoch gar nicht dazu gehört. Für die Integration spielt das aber keine Rolle.
> wobei die äußere
> Kreisscheibe nicht dazu gehört. Durch die ersten beiden
> Bedingungen wird dieser Kreis auf den oberen rechten
> Viertelkreis beschränkt, was der Menge B entspricht.
> Nun würde ich gerne Polarkoordinaten anwenden weiß
> jedoch nicht wie. Die Grenzen wären aufgrund des
> Viertelkreises für das eine Integral 0 und [mm]\bruch{\pi}{2}.[/mm]
> Jedoch wüsste ich dann die zweiten Grenzen nicht und bin
> mir ohnehin unsicher ob und wie ich die Polarkoordinaten
> anwenden soll.
Die Idee mit den Polarkoordinaten ist doch gar nicht mal so übel.
Am besten du nimmst gleich:
[mm] x=r\cos\varphi+1
[/mm]
[mm] y=r\sin\varphi+1
[/mm]
Nun setze einfach mal ein. Denk bei der Transformation des Integrals an die Funktionaldeterminante der Polarkoordinaten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:25 Do 14.11.2013 | | Autor: | Gnocchi |
> Die Idee mit den Polarkoordinaten ist doch gar nicht mal so
> übel.
>
> Am besten du nimmst gleich:
> [mm]x=r\cos\varphi+1[/mm]
> [mm]y=r\sin\varphi+1[/mm]
>
> Nun setze einfach mal ein. Denk bei der Transformation des
> Integrals an die Funktionaldeterminante der
> Polarkoordinaten.
>
Okay, ich versuche mich mal...
[mm] \integral_{B}^{}{f(x,y) d(x,y)} [/mm] = [mm] \integral_{B'}^{}{f\circ g *|det J_g(u)|du}
[/mm]
wobei [mm] g(r,\varphi)=(rcos(\varphi)+1,r*sin(\varphi)+1) [/mm] ist und die Determinante der Jacobi-Matrix r entspricht?!
Dann ergibt sich mit Fubini:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}\integral_{0}^{1}{r*arctan\bruch{r*sin(\varphi)}{r*cos(\varphi)}}dr d\varphi
[/mm]
Soweit erstmal...
Sind die Grenzen für r von 0 bis 1 richtig oder muss ich von 1 bis 2 nehmen? Bei anderen Fehlern bitte dazwischen hauen. Danke.
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Schauen wir uns mal die Grenzen an:
Es war:
[mm] x=r\cos\varphi+1
[/mm]
[mm] y=r\sin\varphi+1
[/mm]
Für [mm] \varphi=0 [/mm] haben wir: x=r+1 und y=1. Nun gilt für den Radius: 0<r<1. Also gilt für x das folgende: [mm] x\in(1,2). [/mm] Genau das wollen wir ja.
Identisch die Überlegungen für [mm] \varphi=\pi/2.
[/mm]
Vereinfache dies:
[mm] \arctan\bruch{r\cdot{}\sin(\varphi)}{r\cdot{}\cos(\varphi)}
[/mm]
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