für 9./10. Schuljahr: Aufgabe 1 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 00:25 Sa 21.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Bestimme die größte ganze Zahl, für die [mm]n+27[/mm] und [mm]n-62[/mm] Quadratzahlen sind oder beweise, dass es keine größte ganze Zahl mit dieser Eigenschaft gibt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Di 27.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Ich habe auch mal gerechnet und habe das so gemacht:
[mm]n+27=z_1^2[/mm]
[mm]n-62=z_2^2[/mm]
[mm]z_1^2-27=z_2^2+62[/mm]
[mm]\gdw z_1^2-z_2^2=89[/mm]
Ich nehme an, dass [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] 2 aufeinanderfolgende Zahlen sind. Diese Behauptung befriedigt auch die Annahme, dass n möglichst groß sei, da die Spanne 89 ja nicht gering ist als Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen. Eventuell gibt es noch andere Quadratzahlen, die einen Unterschied von 89 haben, doch sind dann noch andere Quadrate dazwischen. Daher ist die Annahme, [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] seien 2 aufeinanderfolgende Zahlen, zugleich die Beachtung der Forderung nach einem großen n. Da der Unterschied zwischen 2 Quadratzahlen immer die Basis der ersten + die Basis der zweiten ist, gilt für die größere Basis, also für [mm]z_1[/mm]: [mm]z_1=\frac{89+1}{2}=45[/mm]. [mm] z_2 [/mm] ist daher 44.
Setzen wir dies nun in die Ursprungsgleichung [mm]n+27=2025 \gdw n=1998[/mm]. Die Probe bestätigt dies: [mm]n=1936+62=1998[/mm].
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Di 27.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Intuitiv ist deine Lösung richtig, denke ich.  Ich habe sie zuerst nicht verstanden, aber du hast völlig Recht.
Man müsste da einiges noch formaler zeigen, zum Beispiel das:
> Ich nehme an, dass [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] 2
> aufeinanderfolgende Zahlen sind. Diese Behauptung
> befriedigt auch die Annahme, dass n möglichst groß sei, da
> die Spanne 89 ja nicht gering ist als Differenz zweier
> aufeinanderfolgender Quadratzahlen.
Edit: Jetzt ist es mir doch nicht mehr so ganz klar. Mist... Kannst du es noch einmal erklären?
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Di 27.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno,
entschuldige bitte meine Blödheit. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Unter der Nebenbedingung
[mm] $(z_1 [/mm] - [mm] z_2) \cdot (z_1+z_2) [/mm] = const.$
ist natürlich [mm] $z_1^2 [/mm] + [mm] z_2^2$ [/mm] (und damit $2n$ und damit $n$) genau dann maximal, wenn [mm] $|z_1-z_2|=1$ [/mm] gilt.
Ich sollte mein Studium vielleicht besser wiederholen. :-(
Du bist genial. Das hätte ich nie so gesehen. Ich betrachte solche Aufgaben immer viel zu formal und mit zu wenig Intuition.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:13 Mo 01.03.2004 | | Autor: | Nalath |
Wenn gilt: (a-b) * (a+b) = 89
und wir wissen das 89 eine Primzahl ist, so muss entweder die Summe aus a und b oder die Differenz aus a und b 1 sein und die jeweils andere 89 ergeben. (eine Primzahl ist nur durch sich selbst und 1 teilbar)
1. a - b = 1
2. a + b = 89
So fallen aber immer die Variablen weg...
Ein Freund hat durch ausprobieren diese Lösung herausgefunden:
45 - 44 = 1
45 + 44 = 89
Aber das muss doch auch richtig mathematisch gehen, oder?
Nalath
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Mo 01.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nalath,
> Wenn gilt: (a-b) * (a+b) = 89
> und wir wissen das 89 eine Primzahl ist, so muss entweder
> die Summe aus a und b oder die Differenz aus a und b 1 sein
> und die jeweils andere 89 ergeben. (eine Primzahl ist nur
> durch sich selbst und 1 teilbar)
Grundsätzlich gut argumentiert.
Es könnte allerdings auch [mm]\red{a+b=-1}[/mm] und [mm]\red{a-b=-89}[/mm] sein, da wir ja [mm]\red{a}[/mm] und [mm]\red{b}[/mm] als ganzzahlig vorausgesetzt hatten. Gibt es vielleicht sogar noch mehr Möglichkeiten?
> 1. a - b = 1
> 2. a + b = 89
> So fallen aber immer die Variablen weg...
Addieren doch einfach mal die beiden Gleichungen. Dann erhältst du (linke und rechte Seite addieren):
[mm]a-b+a+b = 1 + 89[/mm],
also:
[mm]2a=90[/mm],
also:
[mm]a=45[/mm]
und
[mm]b=89-a=89-45=44[/mm].
Und wie groß ist dann [mm]n[/mm] ?
Jetzt musst du noch die anderen Fälle (von oben) lösen. Dann meldest du dich bitte mit deinen Ergebnissen.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Mo 01.03.2004 | | Autor: | Niob |
So gilt dann aber auch:
a = - 45
b = 44
bzw
a = - 45
b = - 44
[mm] (-45 - -44) * (-45 + -44) = 89[/mm]
etc. ... oder?
Dies ist vielleicht eine andere Lösung, aber auf die "größte" komme ich derzeit nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Mo 01.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Niob,
ja, du hast recht, da kommen als Paare immer [mm]\pm 44[/mm] und [mm]\pm45[/mm] raus, in allen möglichen Vorzeichenvariationen.
Da wir anschließend eh das Quadrat nehmen, ist das egal. Wir bekommen jedes Mal die gleiche Lösung.
Aber welche? Wie groß ist denn jetzt [mm]n[/mm]?
Das hast du mir noch nicht beantwortet.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
Schlechter Scherz, vergib mir! 