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| Aufgabe | Sei f:D [mm] \to [/mm] D holomorph. zeige, dass
|f'(z)| [mm] \le \bruch{1-|f(z)|^2}{1-|z|^2} [/mm] für alle [mm] z\inD
[/mm]
Wann gilt Gleichheit? |
Hallo,
ich habe versucht die Aufgabe mit dem Lemma von Schwarz zu lösen. Für f(0)=0 ist die Gleichung erfüllt und |f'(z)| [mm] \le [/mm] 1. aber wie kann ich das verallgemeinern?
Gleichheit gilt bei einer Drehung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Mi 27.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei f:D [mm]\to[/mm] D holomorph. zeige, dass
> |f'(z)| [mm]\le \bruch{1-|f(z)|^2}{1-|z|^2}[/mm] für alle [mm]z\inD[/mm]
> Wann gilt Gleichheit?
> Hallo,
> ich habe versucht die Aufgabe mit dem Lemma von Schwarz zu
> lösen.
Gute Idee !
Für $w [mm] \in [/mm] D$ sei [mm] $g_w(z) [/mm] := [mm] \bruch{z-w}{\overline{w}z-1}$. [/mm] Du weißt sicher, dass jedes [mm] g_w [/mm] ein Automorphismus von D ist.
Sei [mm] a\in [/mm] D , b:=f(a) und
$g := [mm] g_b \circ [/mm] f [mm] \circ g_a$
[/mm]
Dann erfüllt g die Vor. des Schwarzen Lemmas. Also:
(*) $|g'(0)| [mm] \le [/mm] 1$
Berechne mal g'(0) mit der Kettenregel. Wenn Du jetzt (*) anwendest, erhälst Du
$|f'(a)| [mm] \le \bruch{1-|f(a)|^2}{1-|a|^2} [/mm] $
FRED
> Für f(0)=0 ist die Gleichung erfüllt und |f'(z)|
> [mm]\le[/mm] 1. aber wie kann ich das verallgemeinern?
> Gleichheit gilt bei einer Drehung?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Fr 05.06.2009 | | Autor: | mona85 |
So ich löse grade diese Aufgabe, bzw versuche es...
bei der Kettenregel komme ich auf:
g'(z) = [mm] g_b'(f(g_a(z))) [/mm] * [mm] f'(g_a(z)) [/mm] * [mm] g_a'(z)
[/mm]
mein [mm] g_a'(z) [/mm] hab ich ausgerechnet, das ist [mm] \bruch{az-1-\overline{a}z-|a|^2}{(\overline{a}z-1)^2}
[/mm]
analog geht ja die Ableitung von [mm] g_b, [/mm] allerdings muss ich da ja [mm] f(g_a(z)) [/mm] für z einsetzen... irgendwie steh ich da auf dem Schlauch.
Wahrscheinlich ne blöde frage, aber ich komm da nicht weiter...
Wäre lieb, wenn mir eine das brett vorm kopf wegnehmen würde. 
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Fr 05.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> So ich löse grade diese Aufgabe, bzw versuche es...
>
> bei der Kettenregel komme ich auf:
>
> g'(z) = [mm]g_b'(f(g_a(z)))[/mm] * [mm]f'(g_a(z))[/mm] * [mm]g_a'(z)[/mm]
>
> mein [mm]g_a'(z)[/mm] hab ich ausgerechnet, das ist [mm]\bruch{az-1-\overline{a}z-|a|^2}{(\overline{a}z-1)^2}[/mm]
Bist du sicher, ich habe [mm] \bruch{-1+|a|^2}{(\overline{a}z-1)^2}[/mm] ausgerechnet.
> analog geht ja die Ableitung von [mm]g_b,[/mm] allerdings muss ich
> da ja [mm]f(g_a(z))[/mm] für z einsetzen... irgendwie steh ich da
> auf dem Schlauch.
Du brauchst das nur für den Fall z=0 auszurechnen, da werden die Ausdrücke viel einfacher, zum Beispiel
[mm] g_a'(0) = |a|^2 -1 [/mm], usw.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Sa 06.06.2009 | | Autor: | mona85 |
Also ich schreib mal auf, wie ich auf die Ableitung gekommen bin, vielleicht kannst du mal drüber schauen und vielleicht finden wir warum du was anderes raus hast als ich!
[mm] g_a(z) [/mm] = [mm] \bruch{z-a}{\overline{a}z-1}
[/mm]
Grade hab ich das nochmal nachgerechnet und du hast recht. habe einmal den Strich über dem a vergessen, ups!!
ZU der anderen Ableitung hab ich trotzdem nochmal eine Frage. z=0 darf ich ja erst nach dem Ableiten einsetzen.
Ich schreib mal auf, wie ich es mir denke:
g'(z) = [mm] \bruch{|b|^2 -1}{(\overline{b}*f(g_a(z)))-1)^2} [/mm] * f' [mm] (\bruch{z-a}{\overline{a}z-1}) [/mm] * [mm] \bruch{|a|^2 -1}{(\overline{a}z-1)^2}
[/mm]
dann setze ich mal z=0 ein, dann kommt bei mir raus:
g'(0) = [mm] \bruch{|b|^2 -1}{(\overline{b}f(a) -1)^2} [/mm] * f'(a) *((-1) [mm] +|a|^2)
[/mm]
dann hab ich b=f(a) zuück eingesetzt und hab rausbekommen
g'(0) = [mm] (|f(a)|^2 [/mm] -1) * f'(a) * ((-1) + [mm] |a|^2)
[/mm]
ist das soweit richtig??
das wäre ja dann kleiner/gleich 1, und das muss ich dann so abschätzen, dass ich auf meine behauptung komme??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 So 07.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also ich schreib mal auf, wie ich auf die Ableitung
> gekommen bin, vielleicht kannst du mal drüber schauen und
> vielleicht finden wir warum du was anderes raus hast als
> ich!
>
> [mm]g_a(z)[/mm] = [mm]\bruch{z-a}{\overline{a}z-1}[/mm]
>
> Grade hab ich das nochmal nachgerechnet und du hast recht.
> habe einmal den Strich über dem a vergessen, ups!!
>
> ZU der anderen Ableitung hab ich trotzdem nochmal eine
> Frage. z=0 darf ich ja erst nach dem Ableiten einsetzen.
>
> Ich schreib mal auf, wie ich es mir denke:
>
> g'(z) = [mm]\bruch{|b|^2 -1}{(\overline{b}*f(g_a(z)))-1)^2}[/mm] *
> f' [mm](\bruch{z-a}{\overline{a}z-1})[/mm] * [mm]\bruch{|a|^2 -1}{(\overline{a}z-1)^2}[/mm]
>
> dann setze ich mal z=0 ein, dann kommt bei mir raus:
> g'(0) = [mm]\bruch{|b|^2 -1}{(\overline{b}f(a) -1)^2}[/mm] * f'(a)
> *((-1) [mm]+|a|^2)[/mm]
>
> dann hab ich b=f(a) zuück eingesetzt und hab rausbekommen
>
> g'(0) = [mm](|f(a)|^2[/mm] -1) * f'(a) * ((-1) + [mm]|a|^2)[/mm]
>
> ist das soweit richtig??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> das wäre ja dann kleiner/gleich 1, und das muss ich dann
> so abschätzen, dass ich auf meine behauptung komme??
Da musst du nicht mehr abschätzen, die Tatsache, dass dieser Ausdruck [mm] $\le [/mm] 1$ ist, ist schon die Behauptung; du musst nur $f'(a)$ auf eine Seite der Ungleichung bringen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 So 07.06.2009 | | Autor: | mona85 |
Super, dank eurer Hilfe hab ich die Aufgabe jetzt geschafft und verstanden! 
Danke!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 So 07.06.2009 | | Autor: | chrisssy |
ich habe doch
g'(0) = [mm] (|f(a)|^2-1)*f'(a)*(|a|^2-1)
[/mm]
folgt mit [mm] |g'(0)|\le [/mm] 1 denn nicht
[mm] |f'(a)|\le \bruch{1}{||f(a)|^2-1|*||a|^2-1|}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{(1-|f(a)|^2)*(1-|a|^2)} [/mm] (da die |f(z)|,|z| [mm] \le [/mm] 1)
ich kann das irgendwie nicht so umformen, dass die behauptung rauskommt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 So 07.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich habe doch
> [mm]g'(0) = (|f(a)|^2-1)*f'(a)*(|a|^2-1)[/mm]
Nein, es war
[mm] g'(0) = (|f(a)|^2-1)^{-1}*f'(a)*(|a|^2-1)[/mm]
(Der Exponent -1 fehlte in der letzten Zeile, aber in der Zeile vorher war es noch richtig.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 So 07.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo, kleiner Nachtrag: in der letzten Formel ist der erste Faktor aus dem Nenner in den Zähler gewandert; die vorletzte ist aber noch richtig.
Viele Grüße
Rainer
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