funktionsgleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Mi 03.10.2012 | | Autor: | pls55 |
| Aufgabe | | überführe die funktionsgleichung in ihre normalform. |
in den lösungen sieht da so aus:
f(x)=(x-2)²+3
f(x)=(x-2)*(x-2)+3
f(x)=x²-4x+4+3
f(x)=x²-4x+7
ich habe mir das angeguckt aber nicht verstanden
wie geht das? und woher kommt 4x?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> überführe die funktionsgleichung in ihre normalform.
> in den lösungen sieht da so aus:
> f(x)=(x-2)²+3
> f(x)=(x-2)*(x-2)+3
> f(x)=x²-4x+4+3
> f(x)=x²-4x+7
>
> ich habe mir das angeguckt aber nicht verstanden
> wie geht das? und woher kommt 4x?
man könnte auch direkt [mm] $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ [/mm] anwenden, aber
nun gut:
[mm] $$(x-2)^2+3$$
[/mm]
ist per Definitionem des "Quadrierens" doch gerade
[mm] $$=(x-2)*(x-2)+3\,.$$
[/mm]
Da passiert also gar nichts.
Nun kennst Du das Distributivgesetz, in schulgerechter Form
nennen wir das, was Du nun machen musst: "ausmultiplizieren". Erinnerst
Du Dich?
[mm] $$x*(c+d)=x*c+x*d\,,$$
[/mm]
sowas hatte man mal gelernt. Und daraus kann man einfach folgern
[mm] $$(a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd\,,$$
[/mm]
etwa, indem man oben $x=(a+b)$ setzt:
$$(a+b)*(c+d)=(a+b)*c+(a+b)*d$$
und dann bedenkt, dass ich beim Produkt gebildet aus zwei Faktoren deren
Reihenfolge vertauschen darf
$$(a+b)*c+(a+b)*d=c*(a+b)+d*(a+b)$$
und wieder das allerststehende Gesetz anwendet:
$$c*(a+b)+d*(a+b)=ca+cb+da+db$$
und wieder bei Faktoren die Reihenfolge vertauscht:
$$ac+bc+ad+bd$$
und nun bedenkt, dass auch bei (endlichen) Summen die Reihenfolge der
Summation keine Rolle spielt.
Lange Rede, kurzer Sinn, anstatt das allgemeine nochmal zu begründen
(ist also nicht schlimm, wenn Dir das oben zu allgemein war - aber
irgendwann solltest Du nochmal versuchen, es zu verstehen!)
und dann anzuwenden, rechnen wir es doch einfach mal so, wie
beschrieben:
[mm] $$(x-2)*(x-2)=(x+\red{(-2)})*(\blue{\textbf{x}}+\green{(-2)})=x*\blue{\textbf{x}}+x*\green{(-2)}+\red{(-2)}*\blue{\textbf{x}}+\red{(-2)}*\green{(-2)}=\ldots$$
[/mm]
Siehst Du nun, dass
[mm] $$(x-2)*(x-2)+3=x^2+(-4)*x+(-2)^2+3=x^2-4x+7$$
[/mm]
gilt?
P.S.
Und bitte nicht einfach sagen: Verstehe ich nicht. Rechnen!! Rechne uns
halt vor, wie Du es rechnen würdest, auch, wenn's falsch ist. Sonst sehen
wir nicht, wo Du falsch rechnest und Du wirst diesen Fehler
schlimmstenfalls immer begehen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mi 03.10.2012 | | Autor: | pls55 |
danke ich habe das jetz verstanden aber eine frage: man muss ja immer die binomischen formeln anwernden aber bis jetz haben wir immer nur die 1. und 2 angewendet die dritte gibts da doch auch oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mi 03.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke ich habe das jetz verstanden aber eine frage: man
> muss ja immer die binomischen formeln anwernden
na, man kann nur etwas anwenden, wo es auch auftaucht!
"Immer" müssen und werden die NICHT auftauchen!
Übrigens ist es eher die Kunst, die bin. Formeln "rückwärts" anzuwenden,
also etwa
[mm] $$x^2+6x+9$$
[/mm]
umzuschreiben zu
[mm] $$(x+3)^2\,.$$
[/mm]
Das erkennt man oben etwa so:
[mm] $$x^2+6x+9=x^2+6x+3^2=x^2+2*x*3+3^2=(x+3)^2\,.$$
[/mm]
> aber bis
> jetz haben wir immer nur die 1. und 2 angewendet die dritte
> gibts da doch auch oder?
Ja, die gibt's auch:
[mm] $$(a+b)*(a-b)=a^2-b^2\,.$$
[/mm]
Aber auch hier ist das Rückwärtsanwenden das eigentlich wichtige.
Denn das "vorwärtsrechnen" hier:
[mm] $$(a+b)*(a-b)=(a+b)*(a+(-b))=a*a+a*b+(-b)*a+(-b)*b=...=a^2-b^2$$
[/mm]
ist ja eigentlich keine große Kunst!
Aber einem Term [mm] $a^2-b^2$ [/mm] anzusehen, dass man ihn als
$$(a+b)*(a-b)$$
schreiben kann, sieht man nicht so schnell. (Außerdem können wir, wenn
wir wissen wollen, wann "etwas" Null wird, meist besser gucken, wann,
wenn wir das "etwas" nur noch als reines Produkt vorliegen haben, einer
der Faktoren Null wird. Deswegen ist oft "faktorisieren" das Mittel der
Wahl!)
Gruß,
Marcel
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