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| Aufgabe | | ermittle das verhalten und polstellen verhalten bei einer funktionsschar |
wie ermittel ich das verhalten der polstelle und das verhalten der funktion bei einer gebrochen rationalen funtkionsschar?
bsp:
x³/(2x²+a)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich würde einfach unterschiedliche Werte für a einsetzen und dann die entsprechenden Kurven zeichnen. Dann siehst du ja, wie sie aussehen.
Zum Beispiel zeichnest du die Kurven
[mm] y=\bruch{x^{3}}{2x^{2}-3}
[/mm]
[mm] y=\bruch{x^{3}}{2x^{2}-2}
[/mm]
[mm] y=\bruch{x^{3}}{2x^{2}-1}
[/mm]
[mm] y=\bruch{x^{3}}{2x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*x [/mm] (nicht definiert für x=0)
[mm] y=\bruch{x^{3}}{2x^{2}+1}
[/mm]
[mm] y=\bruch{x^{3}}{2x^{2}+2}
[/mm]
[mm] y=\bruch{x^{3}}{2x^{2}+3}
[/mm]
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> ermittle das verhalten und polstellen verhalten bei einer
> funktionsschar
> wie ermittel ich das verhalten der polstelle und das
> verhalten der funktion bei einer gebrochen rationalen
> funtkionsschar?
> bsp:
>
> x³/(2x²+a)
Hallo,
Du mußt hier eine komplette Kurvendiskussion durchführen für [mm] f_a(x)=\bruch{x^3}{2x^2+a}, [/mm] beginnend mit der Bestimmung des Definitionsbereiches.
Schon an dieser Stelle merkst Du, daß das a nicht unerheblich ist, sondern daß es ein Unterschied ist, ob Du a>0, a=0 oder a<0 hast, denn die Funktion ist unter "gewissen" Umständen - je nach a - nicht an allen Stellen definiert.
Von daher ist es nicht so übel, wenn Du als kleine Vorarbeit mal ein paar Kurven zeichnest, so wie rabilein das vorschlägt.
Die nun folgende Kurvendiskussion solltest Du für die Fälle a>0, a=0 oder a<0 getrennt vornehmen, es ist dann übersichtlicher.
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Das a behandelst Du beim Rechnen so, als stünde da eine feste Zahl.
Es erleichtert Dir die Arbeit. Statt unendlich viele Funktionen zu untersuchen, nämlich für sämtliche reelle Zahlen, die man für a einsetzen kann, (womit Du nie fertig würdest, )machst Du das nun allgemein, indem Du eben mit a rechnest und ganz viele funktionen in einem Abwasch erledigst.
Du mußt natürlich damit rechnen, daß Nullstellen Extrema etc. nicht einfach als z.B. [mm] x=\bruch{3\wurzel{17}}{41} [/mm] dastehen, sondern irgendwie in Abhängigkeit von a, z.B. [mm] x=\bruch{3}{4}a-7.
[/mm]
Leg' mal los jetzt. Bei Fragen: fragen.
Gruß v. Angela
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jep versteh das verhalten immernoch nicht
meine aufgaben die ich lösen soll ax²/(x+2a)?
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Hi,
hast du denn eine Kurvendisskussion mittlerweile durchgeführt?
Du kannst die Kurve sonst auch in einen Funktionsplotter eingeben, dann kannst du sie dir vorher anschauen.
Einmal kurz zu den Polstellen:
Eine Polstelle existiert dann wenn [mm]f(x)=\bruch{g(x)}{h(x)} mit h(x_0)=0 und g(x_0)\not=0[/mm]
damit kannst du denn Pol bestimmen.
Dann kannst du bestimmen ob bei den Polen ein Zeichenwechsel vorliegt.
Pole mit Zeichenwechsel liegen dann vor, wenn die Nullstelle [mm] x_0 [/mm] des Nennerpolynoms undgerade ist und x0 nicht zugleich Nullstelle des Zählerpolyoms ist.
Bei Polen ohne Zeichenwechsel gilt das gleiche nur sind die Nennerpolynome gerade.
Ich würde dir raten, aber erstmal die Kurvendiskussion zu machen und eine Vorstellung von der Funktion zu bekommen.
Und deine bisherigen Ergebnisse hier vorzustellen.
Grüße,
Mareike
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> jep versteh das verhalten immernoch nicht
> meine aufgaben die ich lösen soll ax²/(x+2a)?
Hallo,
Du mußt hier eine komplette Kurvendiskussion durchführen für $ [mm] f_a(x)=a\bruch{x^2}{x+2a}, [/mm] $ beginnend mit der Bestimmung des Definitionsbereiches.
Die nun folgende Kurvendiskussion solltest Du für die Fälle a=0 oder [mm] a\not=0 [/mm] getrennt vornehmen, es ist dann übersichtlicher.
---
Das a behandelst Du beim Rechnen so, als stünde da eine feste Zahl.
Es erleichtert Dir die Arbeit. Statt unendlich viele Funktionen zu untersuchen, nämlich für sämtliche reelle Zahlen, die man für a einsetzen kann, (womit Du nie fertig würdest, )machst Du das nun allgemein, indem Du eben mit a rechnest und ganz viele funktionen in einem Abwasch erledigst.
Du mußt natürlich damit rechnen, daß Nullstellen Extrema etc. nicht einfach als z.B. $ [mm] x=\bruch{3\wurzel{17}}{41} [/mm] $ dastehen, sondern irgendwie in Abhängigkeit von a, z.B. $ [mm] x=\bruch{3}{4}a-7. [/mm] $
Leg' mal los jetzt. Bei Fragen: fragen. Damit meine ich konkrete Fragen zu konkreten Teilproblemen. Nicht gleich die nächste Aufgabe.
Gruß v. Angela
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meine ergebnisse zur ableitung von ax³/(x+2a)
f'(x)= [mm] \bruch{ax³+2a²x²}{(x+2a)²}
[/mm]
f''(x)= [mm] \bruch{6ax²+4a²+8a³-4ax³+4a²x²}{(x+2a)³}
[/mm]
sind die richtig?
als Polstelle hab ich x=-2a definitonslücke ID= IR {-2a}
Wie ermittel ich jetzt damit das verhalten?
bei der asymptotengleichung ax³/ (x+2a) = /bruch{1}{2} ax²+1..?
komm da nicht weiter mit der polynomdivision
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also mein zwischenschritt zur ableitung ist
[mm] f'(x)=\bruch{3a+x^2*(x+2a)-(ax^3*1)}{(x+2a)^2}
[/mm]
mit qutientenregel [mm] \bruch{u'(x)+v(x)-u(x)*v'(x)}{v(x)^2}
[/mm]
wie für ich denn bei der Polstelle die Grenzwertuntersuchung durch?
nach der neuen ergebnis der ableitung entsteht dann
[mm] f''(x)=\bruch{2a^2*x^2+4a^3+x^2-2a*x^3}{(x+2a)^3}
[/mm]
bei der polynomdivison hab ich raus
[mm] f(x)=ax^2-2a^2*\bruch{4a^3+x}{x+2a}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Di 04.09.2007 | | Autor: | defjam123 |
sry falsch getippt
meinte für ableitung
[mm] f''(x)=\bruch{2a²X³+4a³x²-2ax³^}{(x+2a)³}
[/mm]
und polynomdivision
[mm] f(x)=ax²-2a²+\bruch{4a³*x}{x+2a}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Mi 05.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
bei der Quotientenregel ist was schiefgegangen: Das erste Plus oben muß ein MAL sein.
Die Grenzwertbildung machst du am einfachsten, indem du eine nahe bei der Polstelle liegende Zahl einsetzt. Wenn du es genauer willst:
Ist p die Polstelle, dann bildest du f(p+h) oder f(p-h) und läßt h gegen Null laufen, wobei h>0 bleiben soll. Darauf lassen sich die üblichen Grenzwertsätze anwenden. Ggf. auch der Satz von L'Hospital.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Do 06.09.2007 | | Autor: | defjam123 |
ok danke leute für die hilfe
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier habe ich erhalten: [mm] $f_a'(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2a*x^3-6a^2*x^2}{(x+2a)^2}$ [/mm] .
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
