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g, f1, f2 Messbarkeit: Tipp, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 Do 02.05.2019
Autor: TS85

Aufgabe
Sei (X, [mm] \mathcal{A}) [/mm] ein messbarer Raum und seien [mm] f_1,f_2 [/mm] : X [mm] \to \IR \mathcal{A}-\mathcal{B}(\IR)-messbar. [/mm]

a) Sei ferner g: [mm] \IR^2 \to \IR \mathcal{B}(\IR^2)-\mathcal{B}(\IR)-messbar. [/mm] z.z. ist g [mm] \circ (f_1, f_2) [/mm] : X [mm] \to \IR [/mm] ist [mm] \mathcal{A}-\mathcal{B}(\IR)-messbar. [/mm]
Verwendbar ohne Beweis: [mm] \mathcal{B}(\IR)\otimes\mathcal{B}(\IR) [/mm] = [mm] \mathcal{B}(\IR^2) [/mm]

b)Folgern Sie die [mm] \mathcal{A}-\mathcal{B}(\IR)-Messbarkeit [/mm] von [mm] f_1+ f_2, f_1 [/mm] * [mm] f_2 [/mm] und [mm] c*f_2 [/mm] für c [mm] \in \IR. [/mm]
[mm] (\IR-Algebra) [/mm]

Meine Frage zu a):
Mir ist leider unbekannt, wie sich eine Verkettung der Form
g [mm] \circ (f_1,f_2) [/mm] darstellt, sonstige Hinweise wären auch nicht schlecht.

zu b)Ist hier zu zeigen [mm] \{y \in X | f_1(y)+f_2(y)>a\} \in \mathcal{A}? [/mm] Dies ist vermutlich nur der Beweis dafür, dass [mm] f_1+f_2 [/mm] messbar ist.

        
Bezug
g, f1, f2 Messbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:19 Fr 03.05.2019
Autor: fred97


> Sei (X, [mm]\mathcal{A})[/mm] ein messbarer Raum und seien [mm]f_1,f_2[/mm] :
> X [mm]\to \IR \mathcal{A}-\mathcal{B}(\IR)-messbar.[/mm]
>  
> a) Sei ferner g: [mm]\IR^2 \to \IR \mathcal{B}(\IR^2)-\mathcal{B}(\IR)-messbar.[/mm]
> z.z. ist g [mm]\circ (f_1, f_2)[/mm] : X [mm]\to \IR[/mm] ist
> [mm]\mathcal{A}-\mathcal{B}(\IR)-messbar.[/mm]
>  Verwendbar ohne Beweis:
> [mm]\mathcal{B}(\IR)\otimes\mathcal{B}(\IR)[/mm] =
> [mm]\mathcal{B}(\IR^2)[/mm]
>  
> b)Folgern Sie die [mm]\mathcal{A}-\mathcal{B}(\IR)-Messbarkeit[/mm]
> von [mm]f_1+ f_2, f_1[/mm] * [mm]f_2[/mm] und [mm]c*f_2[/mm] für c [mm]\in \IR.[/mm]
>  
> [mm](\IR-Algebra)[/mm]
>  Meine Frage zu a):
> Mir ist leider unbekannt, wie sich eine Verkettung der
> Form
>  g [mm]\circ (f_1,f_2)[/mm] darstellt, sonstige Hinweise wären auch
> nicht schlecht.


Setzen wir $h:=g [mm] \circ (f_1,f_2)$, [/mm]

    also $h:X [mm] \to \IR$ [/mm] und [mm] $h(x)=g(f_1(x),f_2(x))$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] X.$

Zeigen sollst Du nun (das übliche):  

für $B [mm] \in \mathcal{B}(\IR)$ [/mm] ist [mm] $h^{-1}(B) \in \mathcal{A}$. [/mm]


>  
> zu b)Ist hier zu zeigen [mm]\{y \in X | f_1(y)+f_2(y)>a\} \in \mathcal{A}?[/mm]
> Dies ist vermutlich nur der Beweis dafür, dass [mm]f_1+f_2[/mm]
> messbar ist.


Oft ist es so, dass man für Aufgabenteil b) den Aufgabenteil a) verwenden kann und soll !

Ich mach Dir ein Beispiel: für die Messbarkeit von [mm] f_1+f_2, [/mm] definiere g(x,y)=x+y und wende Teil a) an.




Bezug
                
Bezug
g, f1, f2 Messbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 Fr 03.05.2019
Autor: TS85

d.h. ersteinmal, dass
[mm] h^{-1}(B) [/mm] = [mm] g^{-1}(f_1^{-1}(B), f_2^{-1}(B)) [/mm] ist für B [mm] \in \mathcal{B}(\IR). [/mm]
Dabei ist [mm] f_1^{-1}(B) [/mm] und [mm] f_2^{-1}(B) [/mm] eine Teilmenge von [mm] \mathcal{A}. [/mm]

Besteht der Zusammenhang jetzt darin, dass gilt
[mm] \mathcal{B}(\IR^2) [/mm] = [mm] \mathcal{A}_\sigma (\pi_1^{-1}(\mathcal{B}_1(\IR)) \cup \pi_2^{-1}(\mathcal{B}_2(\IR))), [/mm] wodurch gilt (da alle Abbildungen messbar) sind, auch die gesamte Abbildung messbar ist?
D.h. aus dieser Darstellung folgt die [mm] \mathcal{A}-\mathcal{B}(\IR)-Messbarkeit? [/mm]

Geht dies in die richtige Richtung oder habe ich mir das gerade zusammengesponnen?

Bezug
                        
Bezug
g, f1, f2 Messbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 Sa 04.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> d.h. ersteinmal, dass
>  [mm]h^{-1}(B)[/mm] = [mm]g^{-1}(f_1^{-1}(B), f_2^{-1}(B))[/mm] ist für B [mm]\in \mathcal{B}(\IR).[/mm]

[notok]
Es ist $h = [mm] g\circ (f_1,f_2)$, [/mm] dann ist [mm] $h^{-1}(B) [/mm] = [mm] \left(g\circ (f_1,f_2)\right)^{-1}(B) \not= \left(g^{-1}\circ (f^{-1}_1,f^{-1}_2)\right)(B)$, [/mm] sondern?

Schreiben wir es dazu mal anschaulicher mit der Pfeilnotation und betrachten das Bild einer Menge [mm] $A\subseteq [/mm] X$ unter h, also $h(A) = [mm] g(f_1(A),f_2(A))$, [/mm] dann genügt das folgender Abbildungsreihenfolge:

$A [mm] \overset{(f_1,f_2)}{\longrightarrow} \left(f_1(A),f_2(A)\right) \overset{g}{\longrightarrow} g\left(f_1(A),f_2(A)\right)$ [/mm]

Mit $B =  [mm] \left(f_1(A),f_2(A)\right) \subseteq \IR^2, [/mm] C = [mm] g\left(f_1(A),f_2(A)\right) \subseteq \IR$ [/mm] sieht das ganze dann also so aus:

$A [mm] \overset{(f_1,f_2)}{\longrightarrow} [/mm] B [mm] \overset{g}{\longrightarrow} [/mm] C$

Nun willst du Urbilder betrachten, du fängst also rechts mit einem $C [mm] \in \mathcal{B}(\IR)$ [/mm] an und möchtest dazu wissen, wie dein A aussieht... nun hangel dich mal an obiger Grafik zurück, welches Urbild musst du also zuerst betrachten?

> Geht dies in die richtige Richtung oder habe ich mir das gerade zusammengesponnen?

Die Argumentation ist viel einfacher.... versuch dich mal oben an den sauberen Urbildern.

Gruß,
Gono


Bezug
                                
Bezug
g, f1, f2 Messbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Sa 04.05.2019
Autor: TS85

Nach einer etwas schwierigeren Recherche habe ich
die Grundlage gefunden, dass [mm] (f\circ g)^{-1} [/mm] = [mm] g^{-1}\circ f^{-1} [/mm]
ist.
D.h. für ein C [mm] \in \mathcal{B}(\IR) [/mm] ist [mm] g^{-1}(C) [/mm] = B [mm] =(B_1,B_2) \subseteq \mathcal{B}(\IR^{2}). [/mm]
Und [mm] (f_1(B_1),f_2(B_2))^{-1} [/mm] =A [mm] \subseteq \mathcal{B}(\IR), [/mm]
weswegen [mm] g\circ (f_1,f_2) \mathcal{A-B}-messbar [/mm] ist.

Was genau mir hier allerdings [mm] \mathcal{B}(\IR)\otimes\mathcal{B}(\IR) [/mm] = [mm] \mathcal{B}(\IR^2) [/mm] bringen soll ist mir nicht ganz klar. Natürlich ist dies dergleiche Wechsel von [mm] \IR^1 [/mm] zu [mm] \IR^2 [/mm] wie von A zu B oder C zu B, allerdings was ist hier der genaue Zusammenhang?
Formal ist das Ganze (oben) vermutlich auch noch nicht richtig.

Bezug
                                        
Bezug
g, f1, f2 Messbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:05 Sa 04.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Nach einer etwas schwierigeren Recherche habe ich
>  die Grundlage gefunden, dass [mm](f\circ g)^{-1}[/mm] = [mm]g^{-1}\circ f^{-1}[/mm]
>  
> ist.

Jo, genau das solltest du auch aus meinen Ausführungen entnehmen.
Drehen wir die Pfeile um, erhalten wir nämlich:
$ A [mm] \overset{(f_1^{-1},f_2^{-1})}{\longleftarrow} [/mm] B [mm] \overset{g^{-1}}{\longleftarrow} [/mm] C $

>  D.h. für ein C [mm]\in \mathcal{B}(\IR)[/mm] ist [mm]g^{-1}(C)[/mm] = B
> [mm]=(B_1,B_2) \subseteq \mathcal{B}(\IR^{2}).[/mm]

Nicht [mm] \subseteq [/mm] sondern [mm] $\in$, [/mm] ansonsten [ok]

>  Und [mm](f_1(B_1),f_2(B_2))^{-1}[/mm] =A [mm]\subseteq \mathcal{B}(\IR),[/mm]

Warum sollte das gelten?
Erstmal ist $A [mm] \in \mathcal{A}$, [/mm] dann: Warum sollten [mm] B_1 [/mm] und/oder [mm] B_2 [/mm] als Teilmengen von [mm] \IR [/mm] meßbar sein?

Also wieso sollte gelten: $A [mm] \times [/mm] B [mm] \in \mathcal{B}(\IR^{2}) \Rightarrow [/mm] A [mm] \in \mathcal{B}(\IR) \wedge [/mm] B [mm] \in \mathcal{B}(\IR)$? [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
g, f1, f2 Messbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:52 Sa 04.05.2019
Autor: TS85

Ich habe mich bei der [mm] \mathcal{A-B}(\IR)-Messbarkeit [/mm] vertan, es müsste (wie gesagt) A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] heißen.

Ist mit "Warum sollte das gelten" gemeint, [mm] \underline{wieso} [/mm] es gilt oder es ergibt hier [mm] \underline{keinen Sinn}? [/mm]



Bezug
                                                        
Bezug
g, f1, f2 Messbarkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:54 So 05.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ist mit "Warum sollte das gelten" gemeint,
> [mm]\underline{wieso}[/mm] es gilt oder es ergibt hier
> [mm]\underline{keinen Sinn}?[/mm]

es sollte heißen: Es bedarf einer Begründung, im Allgemeinen gilt das nämlich nicht.

Dafür brauchst du [mm] $\mathcal{B}(\IR) \otimes \mathcal{B}(\IR) [/mm] = [mm] \mathcal{B}(\IR^2)$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
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