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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - ganzahlige äquivalenz
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ganzahlige äquivalenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:53 Mo 12.12.2016
Autor: mimo1

Aufgabe
Sei [mm] A=(a_{ij}) [/mm] eine [mm] m\times [/mm] n-Matrix mit Einträgen [mm] a_{ij} \in \IZ. [/mm] Man wähle eine Primzahl p und bezeichne mit [mm] \overline{A} [/mm] die [mm] m\times [/mm] n-Matrix mit den Einträgen [mm] \overline{a_{ij}}:=a_{ij}+p\IZ \in \IZ/p\IZ. [/mm]

Beweise die folgende AUssage: Sind zwei Matrizen A,B [mm] \in M(m\times n,\IZ) [/mm] ganzzahlig äquivalent zueinander, so besitzen die Matrizen [mm] \overline{A}, \overline{B} \in M(m\times n,\IZ/p/IZ) [/mm] denselben Rang für jede Primzahl p. Gilt die Umkehraussage?

GUten Abend,

wir haben gabzzahlig äquivalent folgend definiert in der VL:

A und A' heißen ganzzahlig äqivalent zueinander genau dann, wenn A uns A' durch Elemente ganzzahlig von Zeilen und Spalten und es gilt

[mm] A\sim_{\IZ} \pmat{ d_1 & 0&\ldots &0 \\ 0 & d_2& ldots & 0\\ 0& 0&\ldots & 0\\ \vdots &\vdots &\vdots& \dots } [/mm]

(Sorry, aber im Moment funktioniert gerade die Formeleditor, daher versuche ich es in Sätze zu formulieren)

dann erhalten wir eine Matrix mit nur EInträgen auf der Hauptdiagonalen wobei [mm] d_i [/mm] teilt [mm] d_{i+1} [/mm]

Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich am besten anfangen soll.

Ich bin für jeden HInweis dankbar.

        
Bezug
ganzahlige äquivalenz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 06:58 Di 13.12.2016
Autor: mimo1

ich habe erstmal einen Beispiel angeschaut nämlich für folgende Matrizen

[mm] A=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 3 } [/mm] und [mm] B=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 6 } [/mm]

A is zu B ganzzahlig äquivalent denn durch Zeilen-und Spaltenoperation kann ich A in die Matrix B überführen.

[mm] A=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 3 } \to \pmat{ 2 & 0 \\ 3 & 3 } [/mm] (addiere 2. zu 1.Zeile)
[mm] \to \pmat{ 2 & 0 \\ 1 & 3 } [/mm]  (ziehe 1. von 2.Spalte ab)

[mm] \to \pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 0 } [/mm] (vertausche 1. und 2. Zeile)

[mm] \to \pmat{ 1 & 3 \\ 0 & -6 } [/mm] (subtrahiere 2 mal die 1. Zeile von der 2. Zeile ab.)

[mm] \to \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -6 } [/mm] ( (subtrahiere 3 mal 1. Spalte von 2. Spalte))

[mm] \to \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 6 } [/mm]

[mm] \Rightarrow A\sim_{\IZ} [/mm] B

dann betrachte ich [mm] \IZ/p\IZ [/mm] mit p=3, also [mm] \IZ/3\IZ=\{0,1,2\} [/mm]

dann ist [mm] \overline{A}=\pmat{ 2+3\IZ & 0 \\ 0 & 3+3\IZ }=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] und

[mm] \overline{B}=\pmat{ 1+3\IZ & 0 \\ 0 & 6 +3\IZ} =\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm]

somit haben beide den selben Rang: [mm] Rang(\overline{A})=1=Rang(\overline{B}) [/mm]

Wie kann ich das allg. beweisen?
Kann mir jemand da weiterhelfen? dankeschön im voraus.

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ganzahlige äquivalenz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:20 Do 15.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
ganzahlige äquivalenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:24 Di 13.12.2016
Autor: hippias

Ohne das Problem bis zu Ende durchdacht zu haben würde ich raten, die zulässigen Manipulationen durch Produkte geeigneter Matrizen darzustellen: daraus sollte sich einiges ablesen lassen.

Deine Beschreibung

> A und A' heißen ganzzahlig äqivalent zueinander genau
> dann, wenn A uns A' durch Elemente ganzzahlig von Zeilen
> und Spalten und es gilt

ist doch vollkommen nutzlos!

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ganzahlige äquivalenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:26 Di 13.12.2016
Autor: mimo1

welche Matrizen soll ich jetzt durch Manipulation von Produkte als Matrizen darstellen?
Sorry, dass ich mich etwas unbeholfen bin, aber ich verstehe es wirklich nicht.

ich betrachte jetzt folgende Matrizen

[mm] A=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] und [mm] B=\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 4 } [/mm]

und [mm] AB=\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 8 } [/mm]

aber ich weiß nicht so recht, was man da ablesen kann.





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ganzahlige äquivalenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 Di 13.12.2016
Autor: hippias

Ich habe geschrieben "die zulässigen Manipulationen durch Produkte geeigneter Matrizen darzustellen" nicht geschrieben habe ich, dass Du $A$ und $B$ multiplizieren sollst. Berechne Beispielsweise einmal [mm] $\pmat{1&2\\3 &4} \pmat{0&1\\1 &0}$. [/mm] Welche zulässige Matrixmanipulation realisiert also die Multiplikation von rechts mit [mm] $\pmat{0&1\\1 &0}$? [/mm]

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ganzahlige äquivalenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Di 13.12.2016
Autor: mimo1

Nochmals dankeschön.

durch multiplikation von [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] von rechts erhalte ich folgende matrix

[mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 4 & 3 } [/mm] (vertauschung der Spalten)

aber irgendwie sehe ich nicht den Zusammenhang zu meiner Aufgabe.

Könntest Du es nochmal erklären? Das wäre super.

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ganzahlige äquivalenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:45 Di 13.12.2016
Autor: hippias

Der Zusammenhang erschliesst sich so: Wenn $B$ aus $A$ durch Spaltenvertauschung hervorgeht, so gilt $B= AS$, wobei $S$ die Spaltenvertauschungsmatrix aus dem letzten Beitrag sein soll. [mm] $\overline{S}$ [/mm] ist regulär für jede Primzahl $p$. Was kannst Du also über den Rang von [mm] $\overline{A}$ [/mm] und [mm] $\overline{B}= \overline{A}\:\overline{S}$ [/mm] sagen?

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ganzahlige äquivalenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:37 Mi 14.12.2016
Autor: mimo1

gilt dann

[mm] Rang(\overline{A})\le [/mm] Rang [mm] (\overline{S}) [/mm] und [mm] Rang(\overline{B})\le min\{Rang(\overline{A}, \overline{S}\}? [/mm]

Hier haben wir nur angeschaut falls A sich nur durch eine Spaltenumtauschung in B überführen lässt. aber wie es bei Matrizen bei dem Zeilen und Spaltenoperationen verwendet werden muss um die eine Matrix in die andere Matrix überführen zukönnen? oder ist damit schon für alle Matrizen gezeigt. z.B. nehmen wir mal die Matrizen aus meinen Bsp bei dem es nur auf der Haupdiagonalen einträge gibt. wie könnte ich es da anwenden?

Bezug
                                                        
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ganzahlige äquivalenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:22 Mi 14.12.2016
Autor: hippias

mimo1, ich werde Deine Hausaufgabe nicht erledigen! Wenn Du keine eigeneIdee hast und mit meinen Tipps nichts anfangen kannst - was natürlich an ihrer schechten Qualität liegen kann - dann kannst Du Aufgabe nicht bearbeiten. Aber ich werde Dir nicht zu Punkten verhelfen, die Du nicht verdient hast.

> gilt dann
>  
> [mm]Rang(\overline{A})\le[/mm] Rang [mm](\overline{S})[/mm] und
> [mm]Rang(\overline{B})\le min\{Rang(\overline{A}, \overline{S}\}?[/mm]

Meine Güte: was sollst Du denn zeigen?! Du sollst zeigen, dass die Ränge gleich sind, und siehe da: $A$ und $B$ haben gleiche Ränge, wenn $B$ aus $A$ durch Multiplikation mit regulärer Matrix hervorgeht.

>  
> Hier haben wir nur angeschaut falls A sich nur durch eine
> Spaltenumtauschung in B überführen lässt. aber wie es
> bei Matrizen bei dem Zeilen und Spaltenoperationen
> verwendet werden muss um die eine Matrix in die andere
> Matrix überführen zukönnen?

Wie wäre es denn damit: Du machst Dir die Mühe und überträgst das Prinzip auf die anderen Operation. Mit welchen Matrizen könnte man multiplizieren, um Zeilenvertauschungen zu realisieren, mit welchen um um Zeilen/ Spalten zu vervielfachen etc.?

> oder ist damit schon für
> alle Matrizen gezeigt. z.B. nehmen wir mal die Matrizen aus
> meinen Bsp bei dem es nur auf der Haupdiagonalen einträge
> gibt. wie könnte ich es da anwenden?  


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ganzahlige äquivalenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:48 Mi 14.12.2016
Autor: mimo1

könnte ich auch sagen. da A,B äquivalent sind ex P [mm] \in [/mm] GL(m,K) und [mm] Q\in [/mm] GL(n,K) und es gilt

B=PAQ
[mm] \Rightarrow [/mm]  Rang(B)=Rang(PAQ)=Rang(PA)=Rang(A)

[mm] \Rightarrow Rang(\overline{A})=Rang(\overline{B}) [/mm] ?

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ganzahlige äquivalenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:18 Do 15.12.2016
Autor: hippias

Aha, plötzlich tut sich etwas! Genau auf dieses Resultat lief mein Tipp hinaus, sofern Du "ganzzahlig äquivalent" mit "äquivalent" meinst.

So wie Du es geschrieben hast, ist es natürlich unsinning, denn was sollte bei uns $K$ sein? Das musst Du ausbesser. Wieso aus $Rang(A)= Rang(B)$ geschlussfolgert werden kann, dass [mm] $Rang(\overline{A})= Rang(\overline{B})$ [/mm] gilt, solltest Du noch begründen.



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