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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Di 06.12.2011 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | | Sei k [mm] \subseteq \IQ [/mm] eine Körpererweiterung und A der ganze Abschluss von [mm] \IZ [/mm] in K. Zeigen Sie, dass jedes Primideal p [mm] \neq [/mm] (0) in A ein maximales Ideal ist. |
Hallo zusammen,
ich vermute, dass man hier das Going-Down-Theorem verwenden kann. Aber noch kann ich nicht sehen, wie genau.
Ich freue mich über jeden Tipp.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Mi 07.12.2011 | | Autor: | hippias |
> Sei k [mm]\subseteq \IQ[/mm] eine Körpererweiterung und A der ganze
Du meinst sicherlich die andere Inklusion
> Abschluss von [mm]\IZ[/mm] in K. Zeigen Sie, dass jedes Primideal p
> [mm]\neq[/mm] (0) in A ein maximales Ideal ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich vermute, dass man hier das Going-Down-Theorem verwenden
> kann. Aber noch kann ich nicht sehen, wie genau.
>
> Ich freue mich über jeden Tipp.
>
> Viele Grüße,
> Vilietha
Ich wuerde es direkt ohne Going-Down beweisen:
1. Als erstes gilt [mm] $\IZ\cap P\neq [/mm] 0$ - dies ergibt sich aus der Ganzheit der Elemente in $P$.
2. Ferner ist $L:= [mm] \IZ\cap [/mm] P$ Primideal von [mm] $\IZ$ [/mm] - ergibt sich aus der Tatsache, dass [mm] $\IZ/L$ [/mm] Teilring von $A/P$ ist.
3. In [mm] $\IZ$ [/mm] ist jedes Primideal [mm] $\neq [/mm] 0$ maximal; folglich ist $L$ maximal und [mm] $\IZ/L$ [/mm] sogar Teilkoerper von $A/P$.
4. Nach Voraussetzung ist die Erweiterung algebraisch und man macht sich leicht klar, dass dann Interitaetsbereich auch ein Koerper sein muss,also $P$ maximal.
Wenn Du Going-Down benutzen moechtest, benoetigst Du wohl die Punkte 1., 2. und 3.. Ferner nimm ein maximales $M$ von $A$, das $P$ enthaelt und schneide diese mit [mm] $\IZ$. [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Mi 07.12.2011 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Hippias,
vielen Dank für Deine wertvollen Tipps.
Sie haben mir sehr weitergeholfen! 
Viele Grüße,
Vilietha
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