gaußsche Integralfunktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:07 Mo 24.12.2007 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{1}{x^{2} e^{- \bruch{1}{2} x^{2} }dx} [/mm] |
Hallo!
Dies soll ich mit Hilfe der Produktintegration auf die Gaußsche Integralfunktion zurückführen.
Ich bekomm die Produktintegration nicht hin. Wenn ich für v' den e hoch ausdruck nehme, komm ich mit der inneren Ableitung nicht klar.
Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben?
Liebe Grüße
Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:10 Mo 24.12.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Kerstin,
Deine Probleme kann ich gut nachvollziehen. Ein Weg wäre es, den Term [mm] x^2 [/mm] abzubauen. Bis dieser aber abgebaut ist (nach zweimaliger Anwendung der partiellen Integration), hast Du einen unschönen Ausdruck mit dem Integral über die Gaußsche Fehlerfunktion. Deswegen meine ganz simple Frage: Bist Du sicher, das der erste Term [mm] x^2 [/mm] heisst und nicht nur [mm] x [/mm]? Dann klappte das Ganze recht einfach.
In den Grenzen zwischen 0 und Unendlich hat dieses Integral eine Lösung, die man mit Hilfe der Gammafunktion ausdrücken kann, aber das soll ja nicht der Lösungsweg sein.
Viele Grüße erstmal,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Mo 24.12.2007 | | Autor: | Kueken |
leider bin ich mir sicher =(
Gaußsche Fehlerfunktion - ist das dasselbe wie die Integralfunktion?
Wie hast du das denn gemacht, auch wenn es unschön ist? Mit der Produktintegration, meine ich...
Liebe Grüße
Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 Mo 24.12.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Kerstin,
Wenn man [mm] x^2 [/mm] abbauen will, muss demzufolge für die partielle Integration gelten:
$$ v = [mm] x^2 [/mm] $$ und
$$ [mm] u^{'} [/mm] = [mm] e^{-\bruch{x^2}{2}} \, [/mm] . $$ Damit bekommt man [mm] v^{'} = 2x [/mm] und bezeichnet man das Integral über die e-Funktion mit [mm] \Phi (x) [/mm], diese Werte sind dann tabelliert, so bekommt man für die partielle Integration die Terme
$$ [mm] \Phi [/mm] (x) [mm] \cdot x^2 [/mm] - [mm] \int \Phi [/mm] (x) [mm] \cdot [/mm] 2x dx [mm] \, [/mm] . $$
Wendet man das Verfahren noch mal auf das eben erzeugte Integral an, so kommt man zur Integration über die Werte der Gaußschen Fehlerfunktion und das geht nur numerisch, soweit ich weiss.
In meinem alten Bronstein von 1978 gibt es auch den Ausdruck des Gaußschen Integrals, dies hängt jedoch mit der Auswertung eines parametrisierten Kurvenintegrals zusammen und gibt den Winkel an, unter dem vom Ursprung aus die zu integrierende Kurve gesehen wird. Ich sehe eben keinen Zusammenhang dieses Begriffes mit Deiner Aufgabe.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Mo 24.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Kerstin,
ich glaube, so klappt's: Das unbestimmte Integral ist von der Form
[mm] $\int [/mm] u v'$. Setze $u=x$, $u'=1$, [mm] $v'=x\exp[-x^2/2]$ $v=-\exp[-x^2/2]$.
[/mm]
Die Gausssche Integralfunktion ist m.W. [mm] $\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x\exp[-t^2/2]\,dt$.
[/mm]
Frohe Weihnachten
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Mo 24.12.2007 | | Autor: | Kueken |
dann hätt ich jetzt als Stammfunktion:
[mm] [x^{2} [/mm] * [mm] e^{- \bruch{1}{2}*x^{2} }]_{0}^{1} [/mm] + [mm] \wurzel{2\pi} [/mm] * [mm] [O]_{0}^{1}
[/mm]
ich hab o für phi geschrieben.
Wäre das jetzt so richtig?
Vielen Dank für die Antwort.
Auch schöne Feiertage!! =)
Liebe Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Mo 24.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kerstin!
> dann hätt ich jetzt als Stammfunktion:
> [mm][x^{2}*e^{- \bruch{1}{2}*x^{2} }]_{0}^{1} + \wurzel{2\pi}*[O]_{0}^{1}[/mm]
>
> ich hab o für phi geschrieben.
>
> Wäre das jetzt so richtig?
Nicht ganz, denn mit [mm]u=x[/mm] und [mm]v=-\mathrm{e}^{-x^2/2}[/mm] muss der erste Term
[mm] \left[ -x *e^{- \bruch{1}{2}*x^{2} }\right]_{0}^{1} [/mm]
heissen.
Insgesamt ergibt sich:
[mm]\left[ -x *e^{- \bruch{1}{2}*x^{2} }\right]_{0}^{1} + \wurzel{2\pi} (\Phi(1) - \Phi(0)) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hallo!
Ich denke auch dass der erste Term x heissen soll. Mit dem x² ist es sehr schwer das zu berechnen.
Wenn es x heissen soll dann geht das so.
[mm] \integral_{0}^{1}{x*e^{\bruch{-x²}{2}} dx}
[/mm]
u= [mm] \bruch{-x²}{2}
[/mm]
du = -x dx
[mm] \Rightarrow [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{-e^{u} dx}.......
[/mm]
Schöne Feiertage
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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