gaußsche summenformel herleite < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | habe die aufgabe als bild hochgeladen |
mir ist bewusst, dass ich die Gaußsche Summenformel herleiten muss, aber ich verstehe noch nicht ganz wie ich es hier herleiten soll
ich verstehe auch nicht wie man auf (n-1)+n kommt (rot markiert)
kann mir jemand hier weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 So 27.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> habe die aufgabe als bild hochgeladen
halte Dich ans Urheberrecht. Wir können die Datei so nicht freigeben - Du
kannst sie einfach auf ein Blatt Papier schreiben und dann abfotografieren,
denn ich denke, selbst, wenn Du den Formeleditor schon beherrschen
würdest, hättest Du Probleme bei der "passenden Darstellung" der Zeilen
übereinander.
> mir ist bewusst, dass ich die Gaußsche Summenformel
> herleiten muss, aber ich verstehe noch nicht ganz wie ich
> es hier herleiten soll
Jedenfalls nicht induktiv (wieso stellst Du die Frage im Bereich Induktion?).
Du hast [mm] $s_n:=\sum_{k=1}^n k\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $\begin{matrix} & \red{1} & + \blue{\textbf{2}} & + 3 & + 4 & + & \dots & +n \\ \textbf{+} & \red{n} & \;\;\;\;\;+ \blue{\textbf{(n-1)}} & \;\;\;\;\;\;\;\;+ (n-2) & \;\;\;\;\;\;\;+ (n-3) & + & \dots & +1 \end{matrix}$
[/mm]
nichts anderes als [mm] $s_n+s_n=2*s_n\,.$
[/mm]
(Das kann man übrigens auch mit dem Summenzeichen schreiben:
[mm] $s_n=\sum_{k=1}^n k=\sum_{\ell=1}^n (n+1-\ell)$ [/mm] (letzte Gleichheit begründen!)
liefert
[mm] $2*s_n=s_n+s_n=\left(\sum_{k=1}^n k\right)+\sum_{\ell=1}^n (n+1-\ell)$.)
[/mm]
Dort oben stehen insgesamt [mm] $n\,$ [/mm] Einträge übereinander. Anstatt die erste
Zeile von links nach rechts zu summieren und dann weiter in die zweite
Zeile zu hüpfen, um weiter von links nach rechts immer aufzusummieren,
kannst Du auch einfach "spaltenweise" addieren (Spalten = 'übereinanderstehende
Zahlen', bspw. habe ich die ersten beiden Spalten durch Farben angedeutet:
die erste Spalte ist die rote, die zweite ist die blaue). Dann haben wir
[mm] $n\,$ [/mm] Spalten, und es gilt:
Summe der Spalteneinträge der ersten Spalte: [mm] $\red{1}+\red{n}=n+1$
[/mm]
Summe der Spalteneinträge der zweiten Spalte: [mm] $\blue{2}+\blue{(n-1)}=n+1$
[/mm]
.
.
.
Also folgt
[mm] $2s_n=\sum_{k=1}^n [/mm] (n+1)=...$? (Beachte: [mm] $(n+1)\,$ [/mm] ist unabhängig von [mm] $k\,.$)
[/mm]
Versuch' mal, das nachzuvollziehen, frage ggf. nach und vollende die
Überlegungen! (Da fehlt ja eigentlich nur noch das Endergebnis, was man
schöner notieren kann!)
P.S. Mit dem Summenzeichen:
[mm] $2*s_n=s_n+s_n=\left(\sum_{k=1}^n k\right)+\sum_{\ell=1}^n (n+1-\ell)=\left(\sum_{k=1}^n k\right)+\sum_{\red{k}=1}^n (n+1-\red{k})=\sum_{k=1}^n (k+(n+1)-k)=\sum_{k=1}^n [/mm] (n+1)=...$)
Gruß,
Marcel
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