geb. rat. Funktion(-schar) < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 So 23.09.2007 | | Autor: | kingkong |
| Aufgabe | [mm] \bruch{10x}{(x^2+t)^2}
[/mm]
Untersuchen Sie diese Funktion!
Geben Sie die Definitionsmenge, Symmetrie, Asymptoten, Ableitungen, Extremstellen und Wende stellen an! Skizzen Sie den Graph. |
Hallo!
Also ich habe ein sehr großes Problem bei der Aufgabe. Bisher haben wir in der Schule nur "normale" geb. rat. Funktionen untersucht. Mit einer Funktionschar und dem auf einmal enthaltenen t bi ich vollkommen überfordert. Ich glaube mein größtes Problem ist es, für bestimmte Probleme einen Ansat zu finden wie ich an das Problem herangehen kann, da ich ja eine Untersuchung einer "normalen" Funktion durchführen kann.
Es würde mir enorm helfen wenn man mir das anhand der genannten Aufgabe mal komplett vorrechnen könnte (selbstverständlich mit kurzer Erklärung -> damit ich das auf das nächste Problem selbstständig anwenden kann)
Vielen herzlichen Dank!
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Hallöchen.
Na ich werde mal versuchen dich ein wenig in Fahrt zu bringen.
Dabei ist t einfach nur irgendeine reelle Zahl in unseren Betrachtungen.
zum Definitionsbereich:
[mm] f(x)=\bruch{10x}{(x^2+t)^2} [/mm] ist ja deine Funktion. Wann gibts denn da ein Problem?
Richtig. Wenn im Nenner ne Null auftauchen würde. Denn irgendwas geteilt durch 0 war ja nicht definiert. Also müssen wir die Werte für x ausschließen für die der ganze Ausdruck 0 wird.
[mm] \Rightarrow (x^2+t)^2=(x^2+t)(x^2+t)=0 \gdw (x^2+t)=0 \gdw x^2=-t
[/mm]
Was kannst du jetzt über t und x sagen. Was darf man für z.B. positive t und negative t machen?
zu den Ableitungen:
Hier bietet sich die Quotietenregel an.
[mm] f'(x)=\bruch{10(x^2+t)^2- 10x*2(x^2+t)(2x)
}{(x^2+t)^4}
[/mm]
Analog bekommst du sicherlich die anderen Ableitungen heraus.
Für die Extrempunkte etc. untersuchst du alles wie gewohnt, nur mußt du halt immer überprüfen, ob die t Einfluß auf deine Aussage haben oder nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 So 23.09.2007 | | Autor: | kingkong |
Okay erstmal danke für die Ableitung und den Definitionsbereich! Das hilft mir schon sehr weiter. So zu der Symmetrie habe ich mir auch bereits Gedanken gemacht, unzwar ist es doch so, dass für f(-x)=-f(x) eine Symmetrie zum Ursprung und für f(-x)=f(x) eine Symmetrie zur y-Achse gilt. Richtig?
Somit wäre für die Aufgabe beides nicht zutreffend und somit liegt auch keine derartige Symmetrie vor... Oder?!
So, das nächste Problem ist nun: Wie finde ich die Polstellen (senkrechte Asymptoten) bei der gegebenen Funktion heraus?
Vielen herzlichen Dank!
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die kandidaten für die polstellen sind sicherlich die ausnahmen des definitionsbereiches. was hast du denn da ermittelt? Die muß man dann geeignet, eventuell mit limes untersuchen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 So 23.09.2007 | | Autor: | crashby |
Hey,
noch was zur Symmetrie. Da gerade und ungerade Koeffizienten auftauchen gibt es hier keine Symmetrie.
Wenn du Probleme mit Scharen hast, dann mach doch daraus erstmal eine normale Fkt. Also setze t=1,2,3 usw.
Als nächstes kannst du dir die Funktion auch mal skizzieren, damit du den Verlauf sehen kannst.
Und sonst gilt einfach, dass "t" eine Konstante ist!
lg George
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 So 23.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo George!
> noch was zur Symmetrie. Da gerade und ungerade
> Koeffizienten auftauchen gibt es hier keine Symmetrie.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Diese Aussage gilt nur für ganz-rationale Funktionen (also reine Polynome).
Bei gebrochen-rationalen Funktionen ist diese Aussage nicht eindeutig.
Denn durch Einsetzen von [mm] $\red{-x}$ [/mm] erhält man hier $f(-x) \ = \ -f(x)$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Punktsymmetrie zum Ursprung!
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 So 23.09.2007 | | Autor: | crashby |
Hey,
Hier bietet sich die Quotietenregel an.
[mm]{f_t}'(x)=\bruch{10(x^2+t)^2- 10x\cdot{}2(x^2+t)(2x) }{(x^2+t)^4}[/mm]
[mm](x^2+t)[/mm] ausklammern und mit dem Nenner einmal kürzen!
=> [mm]{f_t}'(x)=\frac{10*(x^2+t)-10x*4x}{(x^2+t)^3}[/mm]
weiter vereinfachen
[mm]{f_t}'(x)=\frac{10x^2+10t-40x^2}{(x^2+t)^3}[/mm]
das gefällt mir auch noch nicht ;) also weiter vereinfachen:
=> [mm]{f_t}'(x)=\frac{-30x^2+10t}{(x^2+t)^3}[/mm]
Für Extrema gilt dann: [mm]{f_t}'(x)=0[/mm]
[mm]\frac{-30x^2+10t}{(x^2+t)^3}=0[/mm]
[mm]-30x^2+10t=0[/mm]
Jetzt kannst du weiterrechnen :) ich hoffe ich habe mih nicht vertan in der Eile
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:58 Di 25.09.2007 | | Autor: | kingkong |
Wieso fällt denn bei dem Extrema das [mm] "(x^2+t)^3" [/mm] unter der Klammer einfach weg?
Also das was du jetzt gemacht hast waren doch die Nullstellen oder? Weil wenn ich die Extremstellen herausfinden will muss ich doch die erste Ableitung null setzen, sehe ich das richtig?
So nun die LETZTE Frage: Wie finde ich die Wendestellen der genannten Funktion heraus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Di 25.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo kingkong!
> Wieso fällt denn bei dem Extrema das [mm]"(x^2+t)^3"[/mm] unter der
> Klammer einfach weg?
Du meinst unter dem Bruchstrich, oder?
Ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist.
Von daher ist der o.g. Schritt richtig.
> Also das was du jetzt gemacht hast waren doch die
> Nullstellen oder? Weil wenn ich die Extremstellen
> herausfinden will muss ich doch die erste Ableitung null
> setzen, sehe ich das richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau! Und das wurde ja oben gemacht ...
> So nun die LETZTE Frage: Wie finde ich die Wendestellen der
> genannten Funktion heraus?
Bilde die 2. Ableitung und bestimme die Nullstellen dieser 2. Ableitung. Das sind die möglichen Wendestellen-Kandidaten.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Di 25.09.2007 | | Autor: | crashby |
Hallo kingkong!
> Wieso fällt denn bei dem Extrema das $ [mm] "(x^2+t)^3" [/mm] $ unter der
> Klammer einfach weg?
so würde es ausführlich aussehen:
[mm]\frac{-30x^2+10t}{(x^2+t)^3}=0[/mm] | [mm] *(x^2+t)^3
[/mm]
[mm]\frac{-30x^2+10t}{(x^2+t)^3}*(x^2+t)^3=0*(x^2+t)^3[/mm]
[mm]\frac{-30x^2+10t}{1}=0[/mm]
[mm]-30x^2+10t=0[/mm]
@Loddar gut aufgepasst :) ich werde es mir jetzt merken!
lg
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