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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Fr 04.07.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Führen Sie für die folgende Funktion die Partialbruchzerlegung durch, bestimmen Sie ihren Defintions- und Wertebereich, ihre Nullstellen, ihre Asymptote sowie die Schnittpunkte des Graphen mit der Asymptote.
[mm] f(x)=\bruch{-6x^2+59x-83}{x^3-9x^2+15x-7} [/mm] |
Also ich habe versucht die Aufgabe zu lösen aber bleibe irgendwann hängen...
Die PBZ habe ich noch hingekriegt:
[mm] f(x)=\bruch{-6x^2+59x-83}{x^3-9x^2+15x-7}
[/mm]
Als erste Nullstelle habe ich x=1 mit dem Horner-Schema "erraten", dann hatte ich über:
[mm] x^2-8x+7
[/mm]
p/q-Formel: [mm] x_1_/_2=4\pm\sqrt{16-7}=4\pm3
[/mm]
[mm] \to x_1=7; x_2=1
[/mm]
Also habe ich als "einfache" Nullstelle [mm] x_1=7 [/mm] und als doppelte [mm] x_2_/_3=1
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{-6x^2+59x-83}{x^3-9x^2+15x-7}=\bruch{A}{x-7}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{(x-1)^2}
[/mm]
Mit Hauptnenner:
[mm] \bruch{-6x^2+59x-83}{(x-7)(x-1)^2}=\bruch{A(x-1)^2+B(x-7)(x-1)+C(x-7)}{(x-7)(x-1)^2}
[/mm]
Da krieg ich dann folgende Gleichung raus:
[mm] -6x^2+59x-38=A(x-1)^2+B(x-7)(x-1)+C(x-7)
[/mm]
Dann setze ich ein:
x=1 [mm] \to [/mm] C=5
x=7 [mm] \to [/mm] A=1
x=0 [mm] \to [/mm] B=-7
[mm] f(x)=\bruch{-6x^2+59x-83}{x^3-9x^2+15x-7}=\bruch{1}{x-7}-\bruch{7}{x-1}+\bruch{5}{(x-1)^2}
[/mm]
Für den Definitionsbereich muss ich ja schauen ob ich hebbare Defintionslücken habe also muss ich den Zähler in unzerlegbare Faktoren faktorisieren:
[mm] -6x^2+59x-83=0
[/mm]
[mm] x^2-\bruch{59}{6}+\bruch{83}{6}=0
[/mm]
p/q-Formel:
[mm] x_1_/_2=\bruch{59}{12}\pm\sqrt{\bruch{59}{18}^2-\bruch{83}{6}}
[/mm]
[mm] x_1_/_2=\bruch{59}{12}\pm\sqrt{\bruch{3481}{144}-\bruch{1992}{144}}
[/mm]
[mm] x_1_/_2=\bruch{59}{12}\pm\sqrt{\bruch{1489}{144}}
[/mm]
[mm] x_1=8,13
[/mm]
[mm] x_2=1,70
[/mm]
Dann hab ich ja:
[mm] f(x)=\bruch{-6x^2+59x-83}{x^3-9x^2+15x-7}=\bruch{(x-8,13)(x-1,70)}{(x-7)(x-1)^2} [/mm] und seh direkt(eigtl auch schon vorher), dass ich da nichts kürzen kann also habe ich einen Definitionsbereich:
[mm] D_f=\IR\backslash7;1
[/mm]
Jetzt weis ich nur nicht so recht, wie ich an den Wertebereich rankomme.
Ich könnte ja einerseits die Umkehrfunktion bilden und schauen, was die für einen Definitionsbereich hat oder die Extrema über die Ableitungen anschauen!?
Wie geh ich bei einer (echt) gebrochen rationalen oder im Spezialfall bei dieser Funktion vor?
Die Nullstellen habe ich ja schon weiter oben beim Faktorisieren des Zählers untersucht aber beim Rest komme ich auch nicht weiter.
Jedoch würd ich mich erstmal über einen Tip zum Wertebereich freuen ;)
Danke schonmal im vorraus und besten Gruß,
tedd
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Definitionsbereich:
>
> [mm]D_f=\IR\backslash7;1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt weis ich nur nicht so recht, wie ich an den
> Wertebereich rankomme.
> Ich könnte ja einerseits die Umkehrfunktion bilden
wenn du das versuchen willst, dann wünsche ich
dir viel Glück und gute Nerven !
> die Extrema über die Ableitungen anschauen!?
das ist schon eine viel bessere Idee, aber bei dieser
Monsterfunktion auch nicht gerade vergnüglich
> Wie geh ich bei einer (echt) gebrochen rationalen oder im
> Spezialfall bei dieser Funktion vor?
hallo tedd,
die Zerlegung
f(x)= [mm] \bruch{1}{x-7}-\bruch{7}{x-1}+\bruch{5}{(x-1)^2}
[/mm]
liefert den Schlüssel zur Lösung. Die einzelnen Summanden sind
sehr einfache gebrochen rationale Funktionen mit jeweils einem
Pol an der Stelle x=1 oder x=7. Zeichne dir diese einzelnen
Teilfunktionen auf und überlege dir dann, wie die Summenkurve
aussehen muss ! (Superposition)
Wenn du das hast, kannst du den Wertebereich von f sehen !
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Fr 04.07.2008 | | Autor: | tedd |
Ahh... so gehts :)
Danke für die Antwort:
für [mm] \bruch{1}{x-1}
[/mm]
habe ich eine Funktion die bei [mm] -\infty [/mm] x-WErte sich von unten an die X-Achse "anschmiegt" und bist zur Polstelle 7 bis ins unendliche (negative) steigt bzw. fällt. Es handelt sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel,(woran kann man das sofort erkennen? Ich habe jetzt Werte eingesetzt)
also kommt der GRaph unmittelbar hinter der Polstelle vom unendlichen und schmiegt sich dann wieder an die x-Achse an.
Allein daher und aufgrund der Tatsache, dass ich Nullstellen habe könnte ich ja eigentlich schon sagen, dass der Wertebereich ganz [mm] \IR [/mm] ist. Habe dann aber trotzdem noch die einzelnen Funktionen aufgezeichnet und überlegt.
Als Wertebereich habe ich also :
[mm] W_f=\IR
[/mm]
Jetzt habe ich noch Probleme mit der Asymptote:
Ich muss gesteehen, dass ich auch nicht wirklich weis was hiermit gemeint ist:
Die senkrechten Asymptoten sind ja die Polstellen und mit denen kann es ja keine Schnittpunkte geben und waagerechte Asymptoten habe ich auch keine da der Wertebereich ganz [mm] \IR [/mm] ist.
Ursprünglich sind mehrere Funktionen gegeben bei der ich die Aufgabenstellung erfüllen soll. Kann es sein, dass der Aufgabenteil mit den Asymptoten bei dieser Funktion, die ich hier bearbeiten will
, nicht bearbeitet werden kann?
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> Danke für die Antwort:
> für [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm]
du meinst [mm]\bruch{1}{x-7}[/mm]
> habe ich eine Funktion die bei [mm]-\infty[/mm] x-WErte sich von
> unten an die X-Achse "anschmiegt" und bis zur Polstelle 7
> bis ins unendliche (negative) steigt bzw. fällt. Es handelt
> sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel,(woran kann
> man das sofort erkennen? Ich habe jetzt Werte eingesetzt)
> also kommt der GRaph unmittelbar hinter der Polstelle vom
> unendlichen und schmiegt sich dann wieder an die x-Achse
> an.
die Kurve [mm]\ y=\bruch{1}{x-7}[/mm] bekommt man, wenn
man von der Kurve [mm]\ y=\bruch{1}{x}[/mm] ausgeht und sie
um 7 Einheiten nach rechts verschiebt.
[mm] y=\bruch{1}{x} [/mm] hat an der Stelle x=0 einen Vorzeichenwechsel
einfach deshalb, weil dort auch die Funktion y=x einen
Vorzeichenwechsel hat.
> Allein daher und aufgrund der Tatsache, dass ich
> Nullstellen habe könnte ich ja eigentlich schon sagen, dass
> der Wertebereich ganz [mm]\IR[/mm] ist.
dieses Argument ist nicht ganz hieb- und stichfest...
> Habe dann aber trotzdem noch
> die einzelnen Funktionen aufgezeichnet und überlegt.
> Als Wertebereich habe ich also :
> [mm]W_f=\IR[/mm]
Der gesamte Graph besteht aus 3 getrennten "Ästen".
Der mittlere davon reicht (mit gewissen Schlenkern)
tatsächlich von [mm] +\infty [/mm] bis [mm] -\infty [/mm] (und zwar stetig).
> Jetzt habe ich noch Probleme mit der Asymptote:
> Ich muss gestehen, dass ich auch nicht wirklich weiss was
> hiermit gemeint ist:
> Die senkrechten Asymptoten sind ja die Polstellen
du meinst die Polgeraden
(die Polstellen sind nur deren x-Koordinaten 1 bzw. 7 !)
> und mit
> denen kann es ja keine Schnittpunkte geben und waagerechte
> Asymptoten habe ich auch keine da der Wertebereich ganz [mm]\IR[/mm]
> ist.
die x-Achse (also die Gerade y=0) ist waagrechte Asymptote,
da [mm] \limes_{x\to\infty}f(x)=\limes_{x\to -\infty}f(x)=0
[/mm]
LG al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Fr 04.07.2008 | | Autor: | tedd |
Hey Al-Chwarizmi!
Vielen Dank für die Antworten,
hat mir sehr weitergeholfen.
;)
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