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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Do 19.01.2006 | | Autor: | chriskde |
| Aufgabe | Hallo und Guten Morgen!
Ich habe ein Problem bei folgender gebrochenen rationalen Funktion:
[mm] \bruch{(x+2)*(x-1)^2}{x*(x-1)} = \bruch{x^3-3x+2}{x^2-x} [/mm]
mit folgender Problemstellung:
Bestimme:
- Nullstellen in ihrere Vielfachheit
- Die Polstellen und ihre Art(gerade/ungerade)
- hebbaren Lücken(sofern vorhanden)
- Asymptote
- Die Annäherung an die Asymptote |
So, jetzt schreibe ich mir erstmal alle Nullstellen auf =
Zähler: -2 und +1(doppelt)
Nenner: 0 und +1
Die Nullstelle der Funktion ist -2
Wir haben eine Polstelle bei 0 (ungerade oder gerade ? Ich würde sagen ungerade, da [mm] x=x^1 [/mm] = ungerader Exponent
Und eine hebbare Lücke bei +1
Meine Frage bezieht sich jetzt auf die eine "verborgene" Nullstelle. Wenn im Nenner und Zählerpolynom diesselbe Nullstelle vorhanden ist, haben wir eine Definitionslücke an dieser Stelle(hebbare Lücke = Nenner- und Zählerpolynom = 0)
Da ich aber im Zähler zwei Nullstellen mit 1 habe, frage ich mich warum die andere +1 nicht auch Nullstelle der Funktion ist? Oder wird sie, wie oben angesprochen von der Nullstelle(die auch +1 beträgt) im Nenner überlagert?
Da der Zählergrad > Nennergrad ist kann ich eine Division vornehmen, um damit die Funktion der Asymptote zu bestimmen.
Ich verstehe in diesem Zusammenhang noch nicht, was mit Ersatzfunktion gemeint ist. In der Aufgabenbeschreibung finde ich nur : "Die Art und Vielfachheit der "verborgenen" Nullstelle oder Polstelle erkennt man an der Ersatzfunktion". Kann eine Polstelle auch von einer Nullstelle überlagert werden?.Ich verstehe nicht den Zusammenhang :(
Wäre sehr erfreut über ein paar Denkanstöße!
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Hi, Chris,
> Ich habe ein Problem bei folgender gebrochenen rationalen
> Funktion:
>
> [mm]\bruch{(x+2)*(x-1)^2}{x*(x-1)} = \bruch{x^3-3x+2}{x^2-x}[/mm]
>
> mit folgender Problemstellung:
>
> Bestimme:
> - Nullstellen in ihrere Vielfachheit
> - Die Polstellen und ihre Art(gerade/ungerade)
> - hebbaren Lücken(sofern vorhanden)
> - Asymptote
> - Die Annäherung an die Asymptote
> So, jetzt schreibe ich mir erstmal alle Nullstellen auf =
> Zähler: -2 und +1(doppelt)
> Nenner: 0 und +1
>
> Die Nullstelle der Funktion ist -2
> Wir haben eine Polstelle bei 0 (ungerade oder gerade ? Ich
> würde sagen ungerade, da [mm]x=x^1[/mm] = ungerader Exponent
> Und eine hebbare Lücke bei +1
>
> Meine Frage bezieht sich jetzt auf die eine "verborgene"
> Nullstelle. Wenn im Nenner und Zählerpolynom diesselbe
> Nullstelle vorhanden ist, haben wir eine Definitionslücke
> an dieser Stelle(hebbare Lücke = Nenner- und Zählerpolynom
> = 0)
Wenn die maximale Definitionsmenge nicht gegeben ist, muss man sie als allererstes ausrechnen, egal was sonst gefragt ist!
Hier ergibt sich: [mm] D_{f} [/mm] = [mm] \IR\backslash\{ 0; 1 \}.
[/mm]
Das heißt aber: Ganz gleich, was nun noch "geschieht", die Stellen x=0 und x=1 sind NICHT MEHR MIT DABEI!
> Da ich aber im Zähler zwei Nullstellen mit 1 habe, frage
> ich mich warum die andere +1 nicht auch Nullstelle der
> Funktion ist?
Es gibt keine "zwei Einsen": die Eins ist eine eindeutige Zahl; lediglich ihre Vielfachheit als Zählernullstelle ist vor dem Kürzen zwei.
Da nun aber die Eins nicht in der Definitionsmenge liegt (siehe meine obige Bemerkung), kann sie auch niemals Nullstelle der Funktion f sein, denn das ist nun mal GRUNDVORAUSSETZUNG, dass nämlich eine Nullstelle zur Definitionsmenge gehören muss!
> Da der Zählergrad > Nennergrad ist kann ich eine Division
> vornehmen, um damit die Funktion der Asymptote zu
> bestimmen.
> Ich verstehe in diesem Zusammenhang noch nicht, was mit
> Ersatzfunktion gemeint ist. In der Aufgabenbeschreibung
> finde ich nur : "Die Art und Vielfachheit der "verborgenen"
> Nullstelle oder Polstelle erkennt man an der
> Ersatzfunktion".
Nun: Der Ausdruck "Ersatzfunktion" gehört m.E. nicht zum allgemeinen Sprachgebrauch der Mathematik.
Aus Deinen Bemerkungen schließe ich, dass damit der gekürzte Funktionsterm gemeint ist, also:
f(x) = [mm] \bruch{(x+2)(x-1)}{x}.
[/mm]
Hier kannst Du nun z.B. gut erkennen, dass die einzige Polstelle bei x=0 liegt und die Vielfachheit 1 hat.
Auch der Ausdruck "verborgene Nullstelle" kommt mir seltsam vor. Vermutlich ist gemeint, dass die stetig behebbare Definitionslücke bei x=1 liegt, ihr Grenzwert =0 ist. Dies bedeutet: Wenn man die Funktion bei x=1 stetig ergänzt, so hat die stetige Ergänzung bei x=1 eine einfache Nullstelle.
mfG!
Zwerglein
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